解出这道题---**Question 19** **Question Stem:** 已知函数 f(x) = ae^(x-1) - ln(x) - 1, 其中 e 为自然对数的底数. **Sub-question (1):** 当 a = 1 时, 求函数 f(x) 的单调区间及极值; **Sub-question (2):** 若 f(x) + ln a ≥ 0, 求实数 a 的取值范围.

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我们来分析这个函数问题。已知函数f(x)等于a乘以e的x减1次方，减去ln(x)，再减去1。第一问，当a等于1时，我们需要求函数的单调区间和极值。首先，函数的定义域是x大于0。我们来求导数，f'(x)等于e的x减1次方，减去1除以x。当导数等于0时，我们得到e的x减1次方等于1除以x。 我们来分析函数的单调性。当a等于1时，函数f(x)等于e的x减1次方，减去ln(x)，再减去1。求导得到f'(x)等于e的x减1次方，减去1除以x。令导数等于0，得到e的x减1次方等于1除以x。当x等于1时，e的0次方等于1，1除以1也等于1，所以x等于1是导数等于0的点。考虑函数k(x)等于e的x减1次方减去1除以x，它的导数k'(x)等于e的x减1次方加上1除以x的平方。当x大于0时，k'(x)大于0，所以k(x)在正实数区间上单调递增。 由于k(1)等于0，所以当x在0到1之间时，k(x)小于0，即f'(x)小于0；当x大于1时，k(x)大于0，即f'(x)大于0。因此，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+∞)上单调递增。函数在x等于1处取得极小值。计算得到f(1)等于e的0次方减去ln(1)再减去1，即1减0减1，等于0。所以函数的极小值为0，在点(1,0)处取得。这就完成了第一问的解答：函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)；函数在x=1处取得极小值0。 现在我们来解决第二问：若f(x)加上ln a大于等于0，求实数a的取值范围。令h(x)等于ae的x减1次方，减去ln(x)，减去1，再加上ln a。我们需要求使h(x)的最小值大于等于0的实数a的取值范围。求导得h'(x)等于ae的x减1次方减去1除以x。令导数等于0，得到ae的x减1次方等于1除以x。设x₀是这个方程的解。考虑函数p(x)等于ae的x减1次方减去1除以x，它的导数p'(x)等于ae的x减1次方加上1除以x的平方。当x大于0时，p'(x)大于0，所以p(x)在正实数区间上单调递增。 函数h(x)在x等于x₀处取得最小值。通过计算，我们得到h(x₀)等于1除以x₀减去ln(x₀)减去1加上ln a。进一步推导可得ln a等于1减去x₀减去ln(x₀)，代入h(x₀)的表达式，得到h(x₀)等于1除以x₀减去x₀减去2倍的ln(x₀)。令m(x)等于1除以x减去x减去2倍的ln(x)，其中x大于0。m'(x)等于负的1除以x的平方减去1减去2除以x，当x大于0时，m'(x)小于0，所以m(x)在正实数区间上单调递减。计算得m(1)等于1减1减0等于0，且m(x)在x等于1处取零值。要使h(x₀)大于等于0，需要x₀小于等于1。由a等于1除以x₀乘以e的1减x₀次方，且x₀小于等于1，得a大于等于1。综上所述，实数a的取值范围是[1,+∞)。