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黎曼函数，也称为托梅函数或爆米花函数，是一个定义在实数上的函数，通常考虑在区间0到1上。它的定义如下：如果x是无理数，则函数值为0；如果x是有理数，可以表示为最简分数p/q，则函数值为1/q。在图中，蓝色点表示有理数点上的函数值，红线表示无理数点上的函数值。这个函数在所有有理点上不连续，但在所有无理点上连续。
黎曼函数具有几个重要的性质。首先，它在所有有理点上不连续，这是因为任何有理点的邻域内都包含无理点，而函数在有理点和无理点上的值有明显差异。其次，它在所有无理点上连续，这是因为任何无理点附近的有理点的分母会变得越来越大，使函数值趋近于零。第三，尽管函数在无数点上不连续，但它在任何有限区间上都是黎曼可积的。最后，由于无理数的密度远大于有理数，所以函数几乎处处为零，只在可数个点上取非零值。
现在我们来分析黎曼函数在无理点的连续性。设α是一个无理数，则函数值f(α)等于0。根据连续性的ε-δ定义，对于任意给定的ε大于0，我们需要找到一个δ大于0，使得当x与α的距离小于δ时，f(x)与f(α)的距离小于ε。这里有三种情况：如果x也是无理数，那么f(x)等于0，与f(α)相等；如果x是有理数p/q，那么f(x)等于1/q。关键在于，当x非常接近α时，如果x是有理数，其分母q必须非常大。因此，我们可以选择足够小的δ，使得在α的δ邻域内，任何有理数的分母q都大于1/ε，从而保证f(x)小于ε。这就证明了函数在无理点α处是连续的。
黎曼函数虽然在无数点上不连续，但它在任何有限区间上都是黎曼可积的。这是一个重要的性质，因为它展示了一个函数即使有无数个不连续点，仍然可以是可积的。证明思路如下：首先，黎曼函数的值被限制在区间0到1内，所以它是有界的。其次，对于任意给定的ε大于0，我们可以将区间分成足够多的小区间，使得在每个小区间上，上和与下和的差小于ε。这是因为，当我们将区间分得足够细时，每个小区间内的有理数点变得稀疏，大多数点上函数值接近于0。因此，黎曼和的极限存在，且积分值等于0。这个结果与我们的直觉一致，因为函数在几乎所有点上的值都是0。
总结一下，黎曼函数是数学分析中一个具有重要意义的函数。它的定义是：当x为无理数时，函数值为0；当x为有理数p/q（以最简形式表示）时，函数值为1/q。这个函数具有一些非常特殊的性质：它在所有有理点上不连续，但在所有无理点上连续；尽管它有无数个不连续点，但在任何有限区间上都是黎曼可积的，且积分值为0。黎曼函数展示了函数性质的复杂性，对于深入理解连续性和可积性的概念有着重要的价值。它是数学分析中的一个经典例子，展示了看似矛盾的性质如何能在一个函数中共存。