教会我---**Question 9:** **Question Stem:** 为响应全民阅读活动，某校利用节假日面向社会开放学校图书馆。据统计，第一个月进馆 128 人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆 608 人次，若进馆人次的月平均增长率相同。 **Sub-question (1):** (1) 求进馆人次的月平均增长率。 **Sub-question (2):** (2) 因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次。在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次。 **Handwritten Work / Calculation Notes:** 解: 设平均增长率为 x 128 + 128(1+x) + 128(1+x)² = 608 128 [1 + (1+x) + (1+x)²] = 608 1 + (1+x) + (1+x)² = 608/128 1 + 1+x + 1+2x+x² = 4.75 x² + 3x + 3 = 4.75 x² + 3x - 1.75 = 0 4x² + 12x - 7 = 0 (2x - 1)(2x + 7) = 0 x₁ = 0.5, x₂ = -3.5 (舍) 因为增长率 > 0 所以 x = 0.5 答: 平均增长率为 50%

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这道题目是关于图书馆进馆人次的问题。已知第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，且月平均增长率相同。我们需要求出月平均增长率，并判断图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，因为图书馆每月接纳能力不超过500人次。 我们设进馆人次的月平均增长率为x。第一个月进馆128人次，第二个月进馆128乘以1加x人次，第三个月进馆128乘以1加x的平方人次。根据题意，前三个月累计进馆人次为608，所以我们可以列出方程：128加上128乘以1加x，再加上128乘以1加x的平方等于608。我们可以将方程简化为：128乘以括号内1加上1加x加上1加x的平方等于608。继续化简得到：1加上1加x加上1加x的平方等于608除以128，即4.75。 现在我们来解这个方程。将1加x和1加x的平方展开，得到1加1加x加1加2x加x的平方等于4.75。合并同类项，得到3加3x加x的平方等于4.75。将方程整理为标准形式：x的平方加3x减1.75等于0。为了方便计算，我们将方程两边同乘以4，得到4x的平方加12x减7等于0。使用因式分解法，可以得到(2x减1)(2x加7)等于0。所以x等于0.5或x等于负3.5。因为我们讨论的是增长率，应该是正数，所以取x等于0.5，即月平均增长率为50%。 现在我们已经知道月平均增长率为50%，即每个月的人次是前一个月的1.5倍。第一个月进馆128人次，第二个月进馆128乘以1.5等于192人次，第三个月进馆192乘以1.5等于288人次，第四个月进馆288乘以1.5等于432人次。因为第四个月进馆人次为432人次，小于图书馆每月接纳能力500人次，所以校图书馆能接纳第四个月的进馆人次。 让我们总结一下这道题的解题过程。首先，我们设月平均增长率为x，根据题目条件列出方程：128加上128乘以1加x，再加上128乘以1加x的平方等于608。通过解方程，我们得到x等于0.5，即月平均增长率为50%。然后，我们计算出第四个月的进馆人次为432人次。由于图书馆每月接纳能力为500人次，大于432人次，所以校图书馆能够接纳第四个月的进馆人次。这道题目考查了等比数列和二次方程的应用，解题关键是正确设置未知数并列出方程。