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定积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在给定区间上的"净有向面积"。从几何角度看，定积分可以理解为函数曲线与x轴之间的区域面积。定积分的定义是基于黎曼和的极限，即将区间分成无数个小区间，用矩形近似每个小区间的面积，然后求和。当小区间的宽度趋近于零时，这个和的极限就是定积分。
微积分基本定理是计算定积分的关键工具。它告诉我们，如果F是f的一个原函数，那么f在区间[a,b]上的定积分等于F(b)减去F(a)。这个定理建立了微分和积分之间的联系，使得我们可以通过找到原函数来计算定积分，而不必使用黎曼和的极限。计算定积分的步骤很简单：首先找到被积函数的一个原函数，然后计算原函数在上限和下限处的值之差。
定积分的几何意义是曲线与坐标轴围成的净有向面积。当函数值全部为正时，定积分就是曲线下方的面积。但当函数有正有负时，定积分表示x轴上方面积减去x轴下方面积的结果。例如，函数f(x)=x在区间[-1,1]上的定积分为0，这是因为x轴上方的正面积和x轴下方的负面积大小相等，相互抵消了。这就是为什么我们称定积分为"净有向面积"，它考虑了面积的符号。
定积分在数学和物理中有广泛的应用。它可以用来计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长等几何量。在物理学中，定积分可以计算功、位移、质心等物理量。在概率论中，定积分用于计算概率密度函数下的概率。例如，计算半径为r的圆的面积，我们可以使用定积分。将圆表示为y=正负根号下r平方减x平方，在区间[-r,r]上积分2倍的上半圆函数，得到面积公式πr平方。这个例子展示了定积分如何将复杂问题简化为可计算的形式。
让我们总结一下定积分的关键概念。定积分是微积分中的基本概念，它表示函数在给定区间上的净有向面积。从数学上讲，定积分定义为黎曼和的极限，表示为从a到b的f(x)dx的积分。微积分基本定理告诉我们，定积分可以通过计算原函数在积分上下限的差值来求解，即F(b)减F(a)，其中F是f的原函数。从几何角度看，定积分表示x轴上方面积减去x轴下方面积的净值。定积分在几何学、物理学、概率论等多个领域有着广泛的应用，是解决实际问题的强大工具。