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在这个例题中，我们要计算函数y等于x平方在区间0到2上与x轴围成的面积。首先，我们确定被积函数是f(x)等于x平方，积分区间是从0到2。面积可以用定积分表示为从0到2对x平方进行积分。计算不定积分，得到x的三次方除以3加上常数C。应用牛顿-莱布尼茨公式，将上限2和下限0代入，得到2的三次方除以3减去0，即8/3。因此，曲线下的面积是8/3平方单位。
在这个例题中，我们要计算函数y等于x和y等于x平方在区间0到1上围成的面积。首先，我们确定两条曲线，f(x)等于x和g(x)等于x平方。然后，我们需要判断哪条曲线在上方。在区间0到1上，当x大于0且小于1时，x大于x平方，所以y等于x的直线在上方。面积可以用定积分表示为从0到1对上方曲线减去下方曲线进行积分，即从0到1对x减去x平方进行积分。计算不定积分，得到x平方除以2减去x的三次方除以3加上常数C。应用牛顿-莱布尼茨公式，将上限1和下限0代入，得到二分之一减去三分之一，即六分之一。因此，两条曲线之间的面积是六分之一平方单位。
在这个例题中，我们要计算函数y等于x在区间0到1上与x轴围成的区域绕x轴旋转一周形成的旋转体体积。首先，我们确定被旋转的函数f(x)等于x，积分区间是从0到1。要计算旋转体的体积，我们可以应用圆盘法。根据圆盘法，旋转体的体积等于π乘以从a到b对函数值的平方进行积分。代入我们的函数和区间，得到体积等于π乘以从0到1对x平方进行积分。计算不定积分，得到π乘以x的三次方除以3加上常数C。应用牛顿-莱布尼茨公式，将上限1和下限0代入，得到π乘以三分之一减去0，即π/3。因此，旋转体的体积是π/3立方单位。
在这个例题中，我们要计算将弹簧从0.6米拉伸到0.8米所做的功。已知弹簧的自然长度是0.5米，将它拉伸到0.7米需要10牛顿的力。首先，我们根据胡克定律F等于kx计算弹性系数k。代入已知条件，10等于k乘以0.2，解得k等于50牛顿每米。然后，我们确定位移范围。从0.6米拉伸到0.8米，相对于自然长度0.5米的位移是从x1等于0.1米到x2等于0.3米。变力做功可以用定积分表示为从x1到x2对力函数F(x)进行积分。代入我们的函数和位移范围，得到功等于从0.1到0.3对50x进行积分，即50乘以从0.1到0.3对x进行积分。计算不定积分，得到50乘以x平方除以2加上常数C。应用牛顿-莱布尼茨公式，将上限0.3和下限0.1代入，得到50乘以(0.045减去0.005)，即2焦耳。因此，所做的功是2焦耳。
总结一下，定积分在实际问题中有广泛的应用。我们学习了四个典型例题：计算曲线下的面积，计算两条曲线之间的面积，计算旋转体的体积，以及计算变力做功。这些应用都遵循微元分析和累加求和的思想。首先，我们将问题分解为无数个微小的部分；然后，通过定积分将这些微小部分累加起来，得到整体的结果。在计算过程中，牛顿-莱布尼茨公式是一个关键工具，它使我们能够通过计算不定积分的上下限之差来求解定积分。通过这些例题，我们看到定积分不仅是数学中的重要概念，也是解决物理、工程等领域实际问题的有力工具。