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在这道题中，我们需要解决一个三角形的角度和面积问题。已知在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，并且满足等式a平方加c平方减去a减b的平方等于a乘以a加b。第一问要求我们求出角C的度数，第二问要求我们在已知三角形面积为S的情况下，求出根号3乘以a平方除以2S的取值范围。让我们先来分析第一个问题。
我们首先展开已知等式。将a平方加c平方减去a减b的平方等于a乘以a加b展开，得到a平方加c平方减去a平方减2ab加b平方等于a平方加ab。整理后得到c平方加2ab减b平方等于a平方加ab，进一步简化得到c平方等于a平方加b平方减ab。根据余弦定理，在三角形中，c平方等于a平方加b平方减2ab乘以余弦C。比较这两个等式，我们得到a平方加b平方减ab等于a平方加b平方减2ab乘以余弦C。消去相同项后得到负ab等于负2ab乘以余弦C。由于a和b都是正数，所以ab大于0，两边同时除以负ab，得到1等于2乘以余弦C，即余弦C等于二分之一。因此，角C等于60度。
现在我们来解决第二个问题，求根号3乘以a平方除以2S的取值范围。首先，我们需要计算三角形的面积。根据三角形面积公式，S等于二分之一乘以ab乘以正弦C。由于我们已经知道角C等于60度，所以S等于二分之一乘以ab乘以正弦60度，即二分之一乘以ab乘以根号3除以2，化简得到S等于根号3除以4乘以ab。接下来，我们将这个面积表达式代入到要求的表达式中。根号3乘以a平方除以2S等于根号3乘以a平方除以2乘以根号3除以4乘以ab，化简后得到根号3乘以a平方除以根号3除以2乘以ab，进一步化简得到2乘以a除以b。因此，我们的问题转化为求a除以b的取值范围，然后将结果乘以2。根据正弦定理，a除以b等于正弦A除以正弦B。我们知道在三角形中，三个角的和等于180度，已知C等于60度，所以A加B等于120度。
现在我们需要确定角A和角B的范围。我们已知A加B等于120度，并且由于三角形ABC是锐角三角形，所以角A和角B都必须小于90度。从A加B等于120度，我们可以得到A等于120度减B，由于B小于90度，所以A大于30度。同理，B等于120度减A，由于A小于90度，所以B也大于30度。因此，角A和角B的范围都是大于30度且小于90度。接下来，我们计算a除以b的范围。根据正弦定理，a除以b等于正弦A除以正弦B，而B等于120度减A，所以a除以b等于正弦A除以正弦120度减A。当A趋近于30度时，a除以b趋近于正弦30度除以正弦90度，即二分之一除以1，等于二分之一。当A趋近于90度时，a除以b趋近于正弦90度除以正弦30度，即1除以二分之一，等于2。因此，a除以b的范围是大于二分之一且小于2。最后，我们得到根号3乘以a平方除以2S等于2乘以a除以b，所以根号3乘以a平方除以2S的范围是2乘以二分之一到2乘以2，即1到4。因此，根号3乘以a平方除以2S的取值范围是大于1且小于4。
让我们总结一下这道题的解题过程。首先，在锐角三角形ABC中，通过已知条件a平方加c平方减去a减b的平方等于a乘以a加b，我们推导出角C等于60度。然后，利用三角形面积公式S等于二分之一乘以ab乘以正弦60度，得到S等于根号3除以4乘以ab。接着，我们将表达式根号3乘以a平方除以2S转化为2乘以a除以b，问题转化为求a除以b的范围。由于三角形是锐角三角形，且A加B等于120度，我们得到角A和角B的范围都是大于30度且小于90度。通过正弦定理和函数分析，我们确定a除以b的范围是大于二分之一且小于2。最终，我们得到根号3乘以a平方除以2S的取值范围为大于1且小于4，即开区间(1,4)。