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微积分是研究变化率和累积的数学分支，主要包括微分学和积分学。微分学研究变化率，如导数；而积分学研究累积，如积分。定积分是积分学的核心概念之一，它表示函数在给定区间上曲线下方的有符号面积。在图中，红色区域表示函数f(x)在区间a到b上的定积分。
定积分的正式定义基于黎曼和的概念。我们将区间[a,b]分成n个等宽的子区间，每个子区间的宽度为Δx。在每个子区间中选取一点x_i星，计算函数值f(x_i星)，并乘以区间宽度Δx，得到一个矩形的面积。所有这些矩形的面积之和就是黎曼和。当n趋向无穷大时，黎曼和的极限就是定积分。在图中，我们可以看到随着矩形数量的增加，黎曼和越来越接近曲线下的实际面积。
微积分基本定理是连接微分学和积分学的桥梁。它表明，如果F是函数f的一个原函数，即F'(x)等于f(x)，那么f在区间[a,b]上的定积分等于F(b)减去F(a)。这个定理揭示了一个深刻的事实：定积分可以通过原函数的差值来计算，而不必直接计算黎曼和的极限。这也表明微分和积分是互逆运算，建立了微分学和积分学之间的内在联系。在图中，红色区域表示函数f(x)在区间a到b上的定积分，而绿色函数F(x)是f(x)的原函数，F(b)减F(a)的值恰好等于这个定积分的面积。
定积分在科学和工程领域有着广泛的应用。在物理学中，它用于计算功、能量和质心；在工程学中，用于计算流体流量和电荷；在经济学中，用于计算消费者剩余和生产者剩余；在概率论中，概率密度函数的积分给出概率；在几何学中，它用于计算面积、体积和曲线长度。图中展示了经济学中的一个应用例子：供需曲线下的区域表示消费者剩余和生产者剩余，这些都可以通过定积分计算。消费者剩余是需求曲线与均衡价格线之间的面积，表示消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。生产者剩余是均衡价格线与供给曲线之间的面积，表示生产者实际收到的价格与其愿意接受的最低价格之间的差额。
总结一下，定积分是积分学的核心概念，它表示函数在给定区间上曲线下方的有符号面积。定积分的正式定义基于黎曼和的极限，即将区间分成无限多个小区间，计算每个小区间上函数值与区间宽度的乘积之和。微积分基本定理建立了微分学和积分学之间的联系，揭示了它们是互逆运算。这个定理表明，定积分可以通过原函数计算：函数f在区间[a,b]上的定积分等于其原函数F在b点的值减去在a点的值。定积分在物理、工程、经济、概率和几何等众多领域都有广泛的应用，是微积分理论和应用中不可或缺的一部分。