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多重积分是单变量积分的推广，用于计算多变量函数在多维区域上的积分。二重积分计算二维区域上的函数，表示为对区域R上的函数f(x,y)进行积分。三重积分则计算三维区域内的函数，表示为对区域Ω上的函数f(x,y,z)进行积分。图中展示了一个函数f(x,y)在二维区域R上的图像，二重积分可以理解为计算函数与xy平面之间的体积。
累次积分法是计算多重积分的基本方法，将多重积分转化为多个单重积分依次计算。对于二重积分，我们可以先对y积分，再对x积分，表示为从a到b对内层积分求积分。内层积分是从g1(x)到g2(x)对f(x,y)关于y的积分。三重积分同理，可以表示为三层嵌套的积分。图中展示了一个二维区域R，其中x从1到3，y的下限是0.5x，上限是3减0.5x。计算这个区域上的二重积分时，我们先固定一个x值，然后在这个x值对应的竖直线段上对y积分，最后对所有这样的积分结果关于x积分。
变量替换法是处理复杂积分区域的有效方法。对于具有特定对称性的区域，使用合适的坐标系可以大大简化计算。极坐标替换是二重积分中最常用的替换，将直角坐标(x,y)转换为极坐标(r,θ)，其中x等于r乘以cosθ，y等于r乘以sinθ。在进行变量替换时，需要乘上雅可比行列式的绝对值，对于极坐标，这个值是r。柱坐标是极坐标在三维空间的推广，适用于三重积分，其雅可比行列式的绝对值也是r。图中展示了极坐标系统，点的位置由径向距离r和角度θ确定，可以看到它与直角坐标系的对应关系。
让我们通过一个具体例子来说明多重积分的计算。考虑计算二重积分∬(x²+y²)dA，其中D是以原点为中心，半径为2的圆盘。这个积分在直角坐标系下不容易计算，但在极坐标下就变得简单了。步骤一，将被积函数转换为极坐标形式，x²+y²等于r²。步骤二，确定积分限，r从0到2，θ从0到2π。步骤三，计算积分。注意在极坐标下，面积元素dA等于r·dr·dθ，所以积分变为从0到2π对从0到2的r³·dr积分。计算得到结果为8π。图中黄色扇形表示极坐标中的面积元素r·dr·dθ，当我们对所有r和θ积分时，就覆盖了整个圆盘区域。