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欢迎来到平面向量的学习。向量是既有大小又有方向的量，是数学和物理中的重要概念。在平面上，我们可以用有向线段来表示向量。向量通常用带箭头的符号表示，比如a向量或者AB向量。这里蓝色的是从原点出发的向量a，红色的是从点A到点B的向量AB。向量的大小，也称为向量的模，是有向线段的长度。例如，向量a的模等于根号5。
在这一节中，我们将学习向量的线性运算，包括向量加法和向量数乘。向量加法有两种表示方法：三角形法则和平行四边形法则。三角形法则是将第二个向量的起点放在第一个向量的终点，连接第一个向量的起点和第二个向量的终点，得到的向量就是它们的和。平行四边形法则是将两个向量的起点放在同一点，以这两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为向量和。向量数乘是指数与向量的乘积，表示为k乘以向量a。当k大于1时，向量的长度增加，方向不变；当k小于0时，向量的方向相反。
在平面直角坐标系中，我们可以用有序数对来表示向量。例如，向量a可以表示为(2,1)，表示从原点出发，沿x轴正方向移动2个单位，沿y轴正方向移动1个单位。向量b可以表示为(-1,2)。向量的坐标表示使得向量运算变得简单。向量加法可以表示为对应坐标相加，即(a₁,a₂)+(b₁,b₂)=(a₁+b₁,a₂+b₂)。例如，向量a加向量b等于(2,1)+(-1,2)=(1,3)。向量的数乘运算也可以用坐标表示，k乘以向量a等于(ka₁,ka₂)。当k变化时，向量的坐标也相应变化。
向量的数量积，也称为点乘，是向量运算的另一种重要形式。两个向量a和b的数量积定义为它们的模的乘积与它们夹角余弦的乘积，即|a|·|b|·cosθ。在坐标表示中，两个向量的数量积等于对应坐标的乘积之和，即a₁b₁+a₂b₂。例如，向量(2,1)和向量(1,2)的数量积等于2×1+1×2=4。数量积有几个重要性质：它是可交换的，即a·b=b·a；当两个向量垂直时，它们的数量积为0。数量积在物理中表示功的概念，在几何中可用于计算投影和判断向量的垂直关系。
向量在数学和物理中有广泛的应用。在几何中，向量可以用来证明几何定理、计算距离和角度，以及判断点的位置关系。例如，我们可以用向量证明三角形的中位线定理：连接三角形两边中点的线段平行于第三边且长度等于第三边的一半。在这个例子中，向量AM等于向量AB加向量AC的一半。在物理中，向量用于表示力、速度、加速度等物理量。力的合成与分解是向量加法的直接应用。例如，当物体受到两个力F₁和F₂作用时，合力F等于这两个力的向量和。向量的数量积在物理中表示功的概念：W=F·s=|F|·|s|·cosθ。通过向量，我们可以将几何问题和物理问题统一起来，用代数方法进行处理。