Expliquer comment calculer une probabilité ---Exercice n°2: Soit X une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité f(x) est définie sur l'intervalle [0, 2] par : f(x) = k.x² 1) Déterminer la valeur de la constante k pour que f(x) soit bien une densité de probabilité. 2) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X. 3) Calculer la probabilité P(1 ≤ X ≤ 1,5). 4) Calculer la probabilité P(X ≤ 1,25). 5) Calculer la probabilité P(X ≥ 0,75). 6) Calculer l'espérance E(X). 7) Calculer la variance σ².

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Dans cet exercice, nous allons étudier une variable aléatoire continue X dont la densité de probabilité est définie sur l'intervalle [0, 2] par f(x) = k fois x au carré. Commençons par déterminer la valeur de la constante k pour que f(x) soit bien une densité de probabilité. Pour cela, nous devons nous assurer que l'intégrale de la fonction sur son domaine de définition est égale à 1. Pour déterminer la valeur de k, nous utilisons le fait que l'intégrale de la densité de probabilité sur son domaine doit être égale à 1. Nous avons donc l'intégrale de k fois x au carré sur l'intervalle [0, 2] égale à 1. En sortant la constante k de l'intégrale, nous obtenons k fois l'intégrale de x au carré. L'intégrale de x au carré donne x au cube sur 3. En évaluant cette expression entre 0 et 2, nous obtenons k fois 8 sur 3 égal à 1. Donc k est égal à 3 sur 8. Ainsi, la densité de probabilité est f(x) = 3 sur 8 fois x au carré.