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三角函数是数学中描述角度与边长关系的重要函数。在直角三角形中，我们定义了六个基本的三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，余切是邻边比对边，正割是斜边比邻边，余割是斜边比对边。这些函数在数学、物理和工程等领域有广泛应用。
三角函数也可以在单位圆中定义，这样可以扩展到任意角度。在单位圆中，角的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合。如果终边与单位圆交于点(x,y)，那么正弦等于y坐标，余弦等于x坐标，正切等于y除以x。三角函数的符号取决于角所在的象限。在第一象限，所有三角函数值都为正；第二象限只有正弦为正；第三象限只有正切为正；第四象限只有余弦为正。这可以用口诀'一全正，二正弦，三正切，四余弦'来记忆。
特殊角的三角函数值是需要记忆的基础知识。常见的特殊角包括0度、30度、45度、60度和90度。对于0度，正弦值为0，余弦值为1，正切值为0。对于30度，正弦值为二分之一，余弦值为根号三分之二，正切值为根号三分之一。对于45度，正弦和余弦值都是根号二分之一，正切值为1。对于60度，正弦值为根号三分之二，余弦值为二分之一，正切值为根号三。对于90度，正弦值为1，余弦值为0，正切值无定义。这些特殊角的值可以通过特殊的直角三角形推导出来，如30-60-90度三角形和45-45-90度三角形。
诱导公式是计算任意角三角函数值的重要工具。通过诱导公式，我们可以将任意角的三角函数值转化为特殊角的三角函数值。常见的诱导公式包括：负角公式，如正弦负角等于负的正弦，余弦负角等于余弦；π减角公式，如正弦π减α等于正弦α，余弦π减α等于负的余弦α；π加角公式，如正弦π加α等于负的正弦α，余弦π加α等于负的余弦α。这些公式可以用口诀'奇变偶不变，符号看象限'来记忆。'奇变偶不变'是指当角度是π/2的奇数倍加减α时，函数名会变；当角度是π/2的偶数倍加减α时，函数名不变。'符号看象限'是指变化后的三角函数值的符号，取决于原角度所在的象限。
让我们来看两个三角函数的应用例题。例题一：已知正弦α加余弦α等于三分之一，求正弦α乘以余弦α的值。解法是将已知等式两边平方，得到正弦平方α加二倍正弦α乘以余弦α加余弦平方α等于九分之一。利用正弦平方α加余弦平方α等于一的恒等式，可以得到一加二倍正弦α乘以余弦α等于九分之一。因此，二倍正弦α乘以余弦α等于九分之一减一，即负九分之八。所以正弦α乘以余弦α等于负九分之四。例题二：已知角θ是第三象限角，且正切θ等于二，求正弦θ和余弦θ的值。解法是利用正切θ等于正弦θ除以余弦θ等于二，得到正弦θ等于二倍余弦θ。又因为θ是第三象限角，所以正弦θ和余弦θ都为负值。利用正弦平方θ加余弦平方θ等于一的恒等式，代入正弦θ等于二倍余弦θ，得到四倍余弦平方θ加余弦平方θ等于一，即五倍余弦平方θ等于一。所以余弦平方θ等于五分之一，余弦θ等于正负根号五分之一。因为θ是第三象限角，余弦θ为负，所以余弦θ等于负根号五分之一。然后求正弦θ等于二倍余弦θ，得到正弦θ等于负二倍根号五分之一。