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圓的切線是指一條與圓恰好相交於一點的直線。這個唯一的交點稱為切點。在圖中，藍色的直線是圓的切線，紅色的點P是切點。切線與圓只有一個交點，這是切線的基本定義。
圓的切線最重要的性質是：圓心到切點的半徑垂直於切線。這是因為切線與圓只有一個交點，如果半徑與切線不垂直，則切線會與圓相交於第二個點，這就不符合切線的定義了。在圖中，我們可以看到圓心O到切點P的半徑與切線形成了90度的直角，這個垂直關係是圓的切線最基本的性質。
圓的另一個重要性質是：從圓外一點引圓的兩條切線，這兩條切線長度相等。切線長度是指圓外點到切點的距離。在圖中，從圓外點Q引出的兩條切線QP1和QP2，它們的長度d1和d2是相等的。這兩條切線與對應的半徑OP1和OP2都形成直角。這個性質在幾何問題中非常有用，特別是在解決與圓有關的距離問題時。
現在我們來證明為什麼從圓外一點引出的兩條切線長度相等。首先，我們連接圓心O和圓外點Q，形成兩個三角形：三角形OP₁Q和三角形OP₂Q。這兩個三角形都有一個直角，因為半徑垂直於切線。它們共用斜邊OQ。根據直角三角形的性質，當兩個直角三角形有相同的斜邊時，它們是全等的。因此，三角形OP₁Q全等於三角形OP₂Q，所以切線長度QP₁等於QP₂。這就證明了從圓外一點引出的兩條切線長度相等。
總結一下圓的切線及其性質：圓的切線是與圓恰好相交於一點的直線，這個交點稱為切點。圓的切線有兩個重要性質：首先，圓心到切點的半徑垂直於切線；其次，從圓外一點引圓的兩條切線長度相等。這些性質在幾何問題和實際應用中非常重要，可以用來解決與圓有關的距離和角度問題。理解這些基本性質對於學習更高級的幾何概念也非常有幫助。