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拉格朗日配方法是一种将二次型转化为标准形的重要方法。二次型的标准形是只包含变量平方项的形式,没有交叉项。例如,我们可以将包含交叉项的二次型转化为只有平方项的标准形式。这种变换在几何上相当于将一个倾斜的椭圆旋转,使其主轴与坐标轴对齐。
拉格朗日配方法的第一步是处理含有平方项的情况。我们找出含有平方项的变量,比如x_1,然后将所有包含该变量的项集中起来。接着,我们对这些项进行配方,将其写成完全平方的形式。例如,对于二次型2x_1^2 + 4x_1x_2 + 3x_2^2,我们可以将其重写为2(x_1^2 + 2x_1x_2) + 3x_2^2。通过配方,这变成了2(x_1 + x_2)^2 - 2x_2^2 + 3x_2^2,即2(x_1 + x_2)^2 + x_2^2。然后,我们进行变量替换,令y_1 = x_1 + x_2,y_2 = x_2,得到标准形2y_1^2 + y_2^2。
当二次型中不含任何变量的平方项,只有交叉项时,我们需要采用不同的策略。例如,对于二次型Q = 6x_1x_2,我们无法直接配方。这时,我们需要进行一个辅助的变量替换,令x_1 = y_1 + y_2,x_2 = y_1 - y_2。将这个替换代入原二次型,我们得到Q = 6(y_1 + y_2)(y_1 - y_2) = 6(y_1^2 - y_2^2)。通过这个替换,我们成功地将只含交叉项的二次型转化为只含平方项的标准形式。在几何上,这相当于将一个双曲线旋转,使其主轴与坐标轴对齐。
让我们通过一个完整的例子来展示拉格朗日配方法。考虑二次型Q = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 2x_3^2。首先,我们处理含有x_1的项,将2x_1^2 + 4x_1x_2配方,得到2(x_1 + x_2)^2 - 2x_2^2。代入原式,得到2(x_1 + x_2)^2 - 2x_2^2 + 2x_2^2 + 4x_2x_3 + 2x_3^2,即2(x_1 + x_2)^2 + 4x_2x_3 + 2x_3^2。令y_1 = x_1 + x_2,y_2 = x_2,y_3 = x_3,则二次型变为2y_1^2 + 4y_2y_3 + 2y_3^2。接下来,我们处理含有y_2和y_3的项,将4y_2y_3 + 2y_3^2配方,得到2(y_3 + y_2)^2 - 2y_2^2。最终,通过令z_1 = y_1,z_2 = y_2,z_3 = y_3 + y_2,我们得到标准形2z_1^2 - 2z_2^2 + 2z_3^2。这对应于将原始二次型的矩阵对角化,得到对角矩阵。
总结一下拉格朗日配方法的关键点。这是一种将二次型转化为标准形的方法,标准形是只包含变量平方项的形式,即c₁y₁² + c₂y₂² + ... + cₙyₙ²。当二次型中含有平方项时,我们通过配方来消去交叉项;当二次型中只含交叉项时,我们通过辅助变量替换来引入平方项。从几何角度看,这相当于将二次曲面旋转,使其主轴与坐标轴对齐。拉格朗日配方法在线性代数、微分几何和物理学中有广泛应用,是研究二次型的重要工具。