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三角函数是数学中的重要函数，用于描述直角三角形中角度与边长之间的关系。在直角三角形中，对于角θ，我们定义三个基本的三角函数：正弦函数，余弦函数和正切函数。正弦函数等于对边除以斜边，余弦函数等于邻边除以斜边，而正切函数等于对边除以邻边，也可以表示为正弦除以余弦。
三角函数还可以通过单位圆来理解。在单位圆中，角θ对应圆上的一点，其x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化。正切函数则等于y坐标除以x坐标，也就是正弦除以余弦。这种定义使得三角函数可以扩展到任意角度，不仅限于直角三角形中的锐角。
在三角函数中，有一些特殊角度的值是我们经常使用的，包括0度、30度、45度、60度和90度。这些特殊角的三角函数值可以通过特殊的直角三角形推导出来。例如，在30-60-90度的三角形中，如果斜边长为2，那么对边为1，邻边为根号3。这样我们可以计算出sin 30度等于1/2，cos 60度等于1/2，tan 60度等于根号3。而在45-45-90度的三角形中，如果两直角边都是1，那么斜边长为根号2，因此sin 45度和cos 45度都等于根号2除以2，tan 45度等于1。
三角函数的图像展示了它们的周期性和其他重要特性。正弦函数的图像是一条波浪形曲线，周期为2π，值域为[-1,1]，它是一个奇函数，即sin(-x)等于-sin(x)。余弦函数的图像与正弦函数相似，但水平移动了π/2，它也是周期为2π，值域为[-1,1]，但它是一个偶函数，即cos(-x)等于cos(x)。正切函数的图像则不同，它有垂直渐近线，周期为π，值域是整个实数集，它也是一个奇函数。这些图像帮助我们直观理解三角函数的变化规律。
让我们来看一个三角函数的应用例题。一个人站在离建筑物底部水平距离20米处，测得建筑物顶部的仰角为30度。忽略人的身高，求建筑物的高度。这是一个典型的直角三角形问题，我们可以使用正切函数来解决。已知水平距离是邻边，为20米，仰角是30度，我们需要求的建筑物高度是对边。根据正切函数的定义，tan 30度等于对边除以邻边，即h除以20。因此，h等于20乘以tan 30度，即20乘以1除以根号3，化简得20根号3除以3，约等于11.55米。这个例子展示了三角函数在实际测量中的应用。