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不定积分是微分（求导）的逆运算，也被称为反导数或原函数。如果函数F(x)的导数等于f(x)，即F'(x) = f(x)，那么F(x)就称为f(x)的一个原函数。我们用符号∫f(x)dx来表示函数f(x)的不定积分。在图中，蓝色曲线是函数f(x) = x²，红色和绿色曲线是它的两个不同的原函数，它们只相差一个常数。所以不定积分表示为F(x) + C，其中C是任意常数。
不定积分有几个基本性质。首先，常数因子可以提到积分号外面，即积分k乘以f(x)等于k乘以积分f(x)。其次，和的积分等于积分的和，即积分f(x)加g(x)等于积分f(x)加积分g(x)。此外，幂函数的积分公式是：积分x的n次方等于x的n+1次方除以n+1再加上常数C，其中n不等于-1。在图中，蓝色曲线是函数f(x) = 2x，它的积分是x²加C；红色曲线是函数g(x) = x²，它的积分是x³/3加C。这些性质使我们能够计算更复杂函数的不定积分。
让我们来看一些常见函数的不定积分公式。常数k的积分是kx加C。x的n次方的积分是x的n+1次方除以n+1再加C，其中n不等于-1。当n等于-1时，也就是1/x的积分是ln|x|加C。指数函数e的x次方的积分仍然是e的x次方加C。三角函数中，正弦的积分是负余弦加C，余弦的积分是正弦加C。在图中，蓝色曲线是正弦函数，红色曲线是余弦函数，深蓝色曲线是负余弦函数，它是正弦函数的积分。这些基本公式是计算更复杂函数积分的基础。
计算不定积分主要有三种方法。第一类是直接积分法，即直接应用基本积分公式。例如，积分3x²加2x等于x³加x²加C。第二类是换元积分法，通过变量替换将复杂积分转化为简单积分。如果u等于g(x)，那么积分f(g(x))乘以g'(x)等于积分f(u)。第三类是分部积分法，基于乘积的导数公式，积分u(x)乘以v'(x)等于u(x)乘以v(x)减去积分u'(x)乘以v(x)。在图中，蓝色曲线是函数f(x) = 3x²+2x，红色曲线是它的不定积分F(x) = x³+x²+C，蓝色阴影区域表示从x=1到x=2的定积分。
总结一下，不定积分是微分的逆运算，表示为积分f(x)dx等于F(x)加C，其中F(x)是f(x)的原函数，C是任意常数。不定积分有几个基本性质，包括常数因子可以提到积分号外面，和的积分等于积分的和等。常见函数的不定积分包括幂函数、指数函数、三角函数等。计算不定积分的主要方法有直接积分法、换元积分法和分部积分法。不定积分在物理学、工程学等领域有广泛的应用，例如计算位移、速度、加速度之间的关系，以及求解微分方程等。