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三角函数的图像变换是指通过对函数表达式进行修改，使图像发生平移或伸缩。主要包括四种变换：水平平移、垂直平移、垂直伸缩和水平伸缩。这些变换可以改变函数图像的位置、形状或大小。让我们先来看一下基本的正弦函数y等于sin(x)的图像。
水平平移变换是通过改变三角函数的相位来实现的。对于正弦函数，当我们将x替换为x加φ时，图像会向左平移φ个单位；当我们将x替换为x减φ时，图像会向右平移φ个单位。例如，函数y等于sin(x减π/2)的图像是将y等于sin(x)的图像向右平移π/2个单位；而函数y等于sin(x加π/2)的图像则是将y等于sin(x)的图像向左平移π/2个单位。这种变换不改变函数的振幅和周期，只改变图像的位置。
垂直平移变换是通过在函数表达式中加上或减去一个常数k来实现的。当我们在正弦函数y等于sin(x)的基础上加上一个正数k时，整个图像会向上平移k个单位；当我们减去一个正数k时，整个图像会向下平移k个单位。例如，函数y等于sin(x)加1.5的图像是将基本正弦函数向上平移1.5个单位；而函数y等于sin(x)减1.5的图像则是将基本正弦函数向下平移1.5个单位。这种变换不会改变函数的周期和振幅，只改变图像的上下位置。
垂直伸缩变换是通过在函数前乘以一个系数A来实现的。对于正弦函数，|A|表示振幅，即波峰到x轴的距离。当|A|大于1时，图像在纵向被拉伸，振幅增大；当|A|小于1但大于0时，图像在纵向被压缩，振幅减小。例如，函数y等于2sin(x)的振幅是2，比基本正弦函数的振幅大一倍；而函数y等于0.5sin(x)的振幅是0.5，比基本正弦函数的振幅小一半。此外，当A小于0时，图像会关于x轴翻转，如函数y等于-1.5sin(x)。这种变换不改变函数的周期，只改变振幅。
水平伸缩变换是通过改变三角函数中自变量x的系数ω来实现的。这种变换会改变函数的周期，周期T等于2π除以|ω|。当|ω|大于1时，图像在横向被压缩，周期变小；当|ω|小于1但大于0时，图像在横向被拉伸，周期变大。例如，函数y等于sin(2x)的周期是π，比基本正弦函数的周期小一半；而函数y等于sin(0.5x)的周期是4π，比基本正弦函数的周期大一倍。此外，当ω小于0时，图像会关于y轴翻转，如函数y等于sin(-x)。这种变换不改变函数的振幅，只改变周期。通过组合不同的变换，我们可以得到形式更加丰富的三角函数图像。