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二倍角公式是高考数学中的重要考点。这些公式包括：正弦的二倍角公式，余弦的二倍角公式，以及正切的二倍角公式。在单位圆中，我们可以直观地理解这些公式。当角α变化时，角2α也随之变化，它们之间的关系正是由二倍角公式描述的。
案例一：化简表达式2sin15°cos15°。观察到这个表达式的形式是2sinαcosα，其中α等于15度。我们可以直接应用二倍角公式sin(2α) = 2sinαcosα。将α = 15°代入，得到2sin15°cos15° = sin(2×15°) = sin30° = 1/2。在单位圆中，我们可以看到角15度和角30度，以及它们对应的正弦值。特别地，sin30°等于1/2，这是一个我们熟知的特殊角的值。
案例二：求解方程sin(2x) = cos(x)，其中x在区间[0, 2π]内。首先，我们使用二倍角公式将sin(2x)展开为2sin(x)cos(x)，得到2sin(x)cos(x) = cos(x)。移项后得到2sin(x)cos(x) - cos(x) = 0。提取公因式cos(x)，得到cos(x)(2sin(x) - 1) = 0。因此，要么cos(x) = 0，要么2sin(x) - 1 = 0，即sin(x) = 1/2。在区间[0, 2π]内，cos(x) = 0的解为x = π/2和3π/2；sin(x) = 1/2的解为x = π/6和5π/6。所以，方程的解集为{π/6, π/2, 5π/6, 3π/2}。在单位圆上，我们可以直观地看到这四个解对应的点。
案例三：求函数f(x) = sin(x)cos(x)的最小正周期和最大值。首先，我们观察到sin(x)cos(x)与二倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)相关。将函数变形：f(x) = sin(x)cos(x) = (1/2) · 2sin(x)cos(x) = (1/2)sin(2x)。这是一个正弦型函数，其角频率ω = 2。因此，最小正周期T = 2π/|ω| = 2π/2 = π。正弦函数的值域为[-1, 1]，乘以1/2后，函数f(x)的值域为[-1/2, 1/2]，所以最大值为1/2。从图像上我们可以直观地看到，函数的周期确实是π，最大值为1/2，出现在x = π/4处。
案例四：已知cosα = 3/5，且α在区间(0, π/2)内，求sin(2α)的值。首先，我们知道cosα = 3/5，且α在第一象限。利用三角恒等式sin²α + cos²α = 1，可以求出sin²α = 1 - cos²α = 1 - (3/5)² = 1 - 9/25 = 16/25。因为α在第一象限，所以sinα > 0，因此sinα = √(16/25) = 4/5。现在，我们可以使用二倍角公式sin(2α) = 2sinαcosα来求解。代入得到sin(2α) = 2 · (4/5) · (3/5) = 24/25。在直角三角形中，我们可以直观地看到，如果斜边为5，邻边为3，对边为4，那么cosα = 3/5，sinα = 4/5，从而sin(2α) = 24/25。