视频字幕
函数单调性是指函数值随自变量变化的增减性质。解决函数单调性问题有四种主要方法：导数法、定义法、图象法和利用基本初等函数性质。其中导数法是最常用的方法。在图中，我们可以看到一个函数的单调递增区间和单调递减区间，以及划分这些区间的临界点。
导数法是判断函数单调性最常用的方法。首先确定函数的定义域，然后求出导数f'(x)。接着找出导数的零点和不存在的点，这些点将定义域划分成若干区间。在每个区间内，我们判断导数的符号：当f'(x)大于0时，函数在该区间单调递增；当f'(x)小于0时，函数在该区间单调递减。以函数f(x)=x³-3x为例，其导数f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0，得到x=±1，这两点将定义域划分为三个区间。在(-∞,-1)和(1,+∞)区间内，f'(x)>0，函数单调递增；在(-1,1)区间内，f'(x)<0，函数单调递减。
除了导数法外，还有其他方法可以判断函数的单调性。定义法是根据单调性的定义来判断：对于区间内任意x₁小于x₂，如果总有f(x₁)小于f(x₂)，则函数在该区间单调递增；如果总有f(x₁)大于f(x₂)，则函数在该区间单调递减。图象法是通过观察函数图象的升降趋势来判断，从左向右看，图象上升则单调递增，图象下降则单调递减。还可以利用基本初等函数的性质及复合函数单调性的'同增异减'规则来判断。以指数函数e^x为例，根据定义法，当x₁小于x₂时，f(x₁)必然小于f(x₂)，因此指数函数在整个实数域上单调递增。
让我们通过一个实例来应用导数法判断函数单调性。求函数f(x) = x³ - 3x² + 1的单调区间。首先，求导数f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)。然后，令f'(x) = 0，得到临界点x = 0和x = 2。这两个点将实数轴划分为三个区间：(-∞, 0)、(0, 2)和(2, +∞)。接下来，在每个区间内判断f'(x)的符号。当x < 0时，f'(x) < 0，函数单调递减；当0 < x < 2时，f'(x) < 0，函数单调递减；当x > 2时，f'(x) > 0，函数单调递增。因此，函数的单调递减区间是(-∞, 2)，单调递增区间是(2, +∞)。从图像上也可以直观地看出这一结论。
总结一下，函数单调性是指函数值随自变量变化的增减性质。判断函数单调性最常用的方法是导数法：当导数大于零时，函数单调递增；当导数小于零时，函数单调递减。此外，定义法、图象法和利用基本初等函数性质也是判断单调性的有效方法。解决函数单调性问题的一般步骤是：确定函数的定义域，求出导数，找到临界点，划分区间，判断导数符号，最后确定单调区间。函数单调性在求函数最值、解不等式和研究函数性质等方面有广泛的应用。掌握函数单调性的判断方法，对于解决高等数学中的各类问题都有重要帮助。