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函数单调性是指函数值随自变量变化的增减性质。解决函数单调性问题有四种主要方法:导数法、定义法、图象法和利用基本初等函数性质。其中导数法是最常用的方法。在图中,我们可以看到一个函数的单调递增区间和单调递减区间,以及划分这些区间的临界点。
导数法是判断函数单调性最常用的方法。首先确定函数的定义域,然后求出导数f'(x)。接着找出导数的零点和不存在的点,这些点将定义域划分成若干区间。在每个区间内,我们判断导数的符号:当f'(x)大于0时,函数在该区间单调递增;当f'(x)小于0时,函数在该区间单调递减。以函数f(x)=x³-3x为例,其导数f'(x)=3x²-3。令f'(x)=0,得到x=±1,这两点将定义域划分为三个区间。在(-∞,-1)和(1,+∞)区间内,f'(x)>0,函数单调递增;在(-1,1)区间内,f'(x)<0,函数单调递减。
除了导数法外,还有其他方法可以判断函数的单调性。定义法是根据单调性的定义来判断:对于区间内任意x₁小于x₂,如果总有f(x₁)小于f(x₂),则函数在该区间单调递增;如果总有f(x₁)大于f(x₂),则函数在该区间单调递减。图象法是通过观察函数图象的升降趋势来判断,从左向右看,图象上升则单调递增,图象下降则单调递减。还可以利用基本初等函数的性质及复合函数单调性的'同增异减'规则来判断。以指数函数e^x为例,根据定义法,当x₁小于x₂时,f(x₁)必然小于f(x₂),因此指数函数在整个实数域上单调递增。
让我们通过一个实例来应用导数法判断函数单调性。求函数f(x) = x³ - 3x² + 1的单调区间。首先,求导数f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2)。然后,令f'(x) = 0,得到临界点x = 0和x = 2。这两个点将实数轴划分为三个区间:(-∞, 0)、(0, 2)和(2, +∞)。接下来,在每个区间内判断f'(x)的符号。当x < 0时,f'(x) < 0,函数单调递减;当0 < x < 2时,f'(x) < 0,函数单调递减;当x > 2时,f'(x) > 0,函数单调递增。因此,函数的单调递减区间是(-∞, 2),单调递增区间是(2, +∞)。从图像上也可以直观地看出这一结论。
总结一下,函数单调性是指函数值随自变量变化的增减性质。判断函数单调性最常用的方法是导数法:当导数大于零时,函数单调递增;当导数小于零时,函数单调递减。此外,定义法、图象法和利用基本初等函数性质也是判断单调性的有效方法。解决函数单调性问题的一般步骤是:确定函数的定义域,求出导数,找到临界点,划分区间,判断导数符号,最后确定单调区间。函数单调性在求函数最值、解不等式和研究函数性质等方面有广泛的应用。掌握函数单调性的判断方法,对于解决高等数学中的各类问题都有重要帮助。