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我们来研究带正电粒子在电场中的运动问题。题目要求证明带正电粒子水平射入边界为y等于x平方的抛物线的竖直向下的匀强电场时，这些相同带电粒子均过抛物线顶点。首先，我们建立物理模型。我们建立平面直角坐标系，使抛物线顶点位于原点，电场方向沿y轴负方向，电场强度为E。粒子质量为m，电荷量为q，且q大于0。粒子从抛物线上一点水平射入电场。
接下来，我们分析粒子在电场中的运动。粒子受到电场力F等于qE，方向沿y轴负方向。根据牛顿第二定律，粒子的加速度a等于F除以m，即0，负qE除以m。我们设a_y等于负qE除以m。现在，我们可以建立粒子的运动方程。在水平方向，粒子做匀速直线运动，位置x等于x₀加上v₀乘以t。在竖直方向，粒子做匀加速直线运动，位置y等于x₀平方加上二分之一a_y乘以t平方。代入a_y等于负qE除以m，得到y等于x₀平方减去二分之一乘以qE除以m乘以t平方。这是粒子在电场中的运动方程。
现在，我们来推导粒子的轨迹方程。首先，从水平运动方程x等于x₀加上v₀乘以t中，我们可以解出时间t等于x减x₀除以v₀。然后，将这个t的表达式代入竖直运动方程，得到y等于x₀平方减去二分之一乘以qE除以m乘以括号x减x₀除以v₀的平方。化简后，得到y等于x₀平方减去qE除以2mv₀平方乘以括号x减x₀的平方。这就是粒子的轨迹方程。接下来，我们应用题目要求的条件：粒子的轨迹必须经过原点，即当x等于0，y等于0时，代入轨迹方程得到0等于x₀平方减去qE除以2mv₀平方乘以括号0减x₀的平方，即0等于x₀平方减去qE除以2mv₀平方乘以x₀平方。进一步化简得到0等于x₀平方乘以方括号1减去qE除以2mv₀平方。
现在，我们来分析速度条件。对于任意x₀不等于0的情况，要使方程0等于x₀平方乘以方括号1减去qE除以2mv₀平方成立，方括号内的项必须为零，即1减去qE除以2mv₀平方等于0。解得qE除以2mv₀平方等于1，v₀平方等于qE除以2m，v₀等于根号下qE除以2m。这就是粒子水平入射速度必须满足的条件。当粒子的水平入射速度满足这个条件时，轨迹方程变为y等于x₀平方减去括号x减x₀的平方，展开得y等于2x₀x减x平方。我们可以代入原点坐标(0,0)验证：0等于2x₀乘以0减0的平方，等于0，方程成立。因此，我们证明了当带正电粒子以速度v₀等于根号下qE除以2m水平射入边界为y等于x平方的抛物线的竖直向下的匀强电场时，这些粒子的轨迹都会经过抛物线的顶点，即原点(0,0)。
让我们总结一下这个问题。我们证明了带正电粒子水平射入竖直向下匀强电场时，当入射速度满足特定条件时，轨迹均过抛物线顶点。这个速度条件是v₀等于根号下qE除以2m。在这个条件下，粒子的轨迹方程为y等于2x₀x减x平方，这是一个抛物线族，所有轨迹都过原点。这种现象在物理上有着重要的意义，类似于光学中的焦点现象。无论粒子从抛物线边界上的哪一点水平射入，只要速度满足条件，它们都会汇聚到抛物线的顶点。这种性质在物理学和工程学中有着广泛的应用，例如在粒子加速器和聚焦系统的设计中。