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三角函数有许多重要的基本关系式。首先是倒数关系：正割是余弦的倒数，余割是正弦的倒数，余切是正切的倒数。其次是商数关系：正切等于正弦除以余弦，余切等于余弦除以正弦。这些关系可以通过单位圆来理解，其中正弦表示y坐标，余弦表示x坐标。
三角函数的平方关系源自勾股定理。最基本的平方关系是：正弦平方加余弦平方等于1。从这个基本关系，我们可以推导出其他平方关系：正切平方加1等于正割平方，余切平方加1等于余割平方。这些关系可以通过直角三角形来理解，其中正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边。在3-4-5三角形中，正弦等于4/5，余弦等于3/5，满足勾股定理3²+4²=5²，也就验证了正弦平方加余弦平方等于1。
三角函数的和差公式是非常重要的公式。正弦和公式：正弦α加β等于正弦α乘以余弦β加上余弦α乘以正弦β。正弦差公式：正弦α减β等于正弦α乘以余弦β减去余弦α乘以正弦β。余弦和公式：余弦α加β等于余弦α乘以余弦β减去正弦α乘以正弦β。余弦差公式：余弦α减β等于余弦α乘以余弦β加上正弦α乘以正弦β。正切和差公式也有类似的形式。在单位圆中，我们可以直观地理解角度相加的几何意义，例如30度加45度等于75度。
三角函数的二倍角公式可以从和公式推导得出。正弦二倍角公式：正弦二θ等于2倍的正弦θ乘以余弦θ。余弦二倍角公式有三种等价形式：余弦二θ等于余弦θ的平方减去正弦θ的平方，也等于2倍余弦θ的平方减1，还等于1减去2倍正弦θ的平方。正切二倍角公式为：正切二θ等于2倍正切θ除以1减正切θ的平方。在单位圆中，我们可以直观地看到二倍角的几何意义，例如当θ等于30度时，2θ等于60度。此时，正弦60度等于2倍正弦30度乘以余弦30度，即2乘以1/2乘以根号3/2，得到根号3/2。
三角函数公式在数学和物理中有广泛的应用。首先，它们可以用来化简复杂的三角表达式，例如利用正弦平方加余弦平方等于1，我们可以将正弦平方表示为1减余弦平方。其次，三角公式可以帮助我们求解三角方程，比如当正弦2x等于正弦x时，我们可以利用二倍角公式展开，得到正弦x乘以2余弦x减1等于0，从而求解出x的值。第三，三角公式在积分与微分中非常有用，例如正弦平方的积分可以通过二倍角公式转化为更简单的形式。最后，三角函数在物理和工程中有重要应用，如简谐运动的位移方程x等于A乘以正弦ωt加φ，其中正弦函数描述了物体的周期性运动。