Una caja contiene 3 fichas rojas y 2 fichas verdes. Se sacan fichas al azar, una a la vez sin reemplazo, hasta que se sacan las 3 rojas o hasta que se sacan ambas fichas verdes. ¿Cuál es la probabilidad de que se saquen las 3 rojas? (A) 3/10 (B) 2/5 (C) 1/2 (D) 3/5 (E) 7/10

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En este problema de probabilidad, tenemos una caja con tres fichas rojas y dos fichas verdes. Vamos a extraer fichas una a una sin reemplazo hasta que ocurra uno de dos eventos: o bien sacamos las tres fichas rojas, o bien sacamos las dos fichas verdes. Nos piden calcular la probabilidad de que el proceso termine porque hemos sacado las tres fichas rojas. Analicemos este problema paso a paso. Para resolver este problema, primero debemos entender claramente las condiciones. El proceso de extracción de fichas se detiene cuando ocurre uno de dos eventos: o bien sacamos las tres fichas rojas, o bien sacamos las dos fichas verdes. Nuestro evento de interés es que el proceso termine porque hemos extraído las tres fichas rojas. Podemos representar este proceso como un árbol de probabilidad, donde cada rama representa una posible extracción. En la primera extracción, la probabilidad de sacar una ficha roja es tres quintos, y la probabilidad de sacar una ficha verde es dos quintos. Para calcular la probabilidad de que el proceso termine con la extracción de las tres fichas rojas, debemos identificar todas las secuencias posibles que cumplen esta condición. Estas secuencias deben terminar exactamente cuando se extrae la tercera ficha roja, y en ese momento no se deben haber extraído las dos fichas verdes. Las posibles secuencias son: RRR, donde extraemos las tres fichas rojas en orden; RRVR, donde extraemos dos rojas, luego una verde, y finalmente la tercera roja; RVRR, donde extraemos una roja, una verde, y luego dos rojas; y VRRR, donde extraemos una verde seguida de las tres rojas. Para cada secuencia, calculamos su probabilidad. Por ejemplo, para la secuencia RRR, la probabilidad es tres quintos por dos cuartos por un tercio, lo que es igual a un décimo. Ahora calculamos la probabilidad total de que el proceso termine con la extracción de las tres fichas rojas. Para ello, sumamos las probabilidades de todas las secuencias posibles. La probabilidad de la secuencia RRR es un décimo. La probabilidad de la secuencia RRVR es también un décimo. De manera similar, las probabilidades de las secuencias RVRR y VRRR son también un décimo cada una. Sumando estas cuatro probabilidades, obtenemos cuatro décimos, que simplificado es igual a dos quintos. Por lo tanto, la probabilidad de que el proceso termine porque se han extraído las tres fichas rojas es dos quintos, lo que corresponde a la opción B. Para concluir, repasemos los pasos clave de este problema de probabilidad. Primero, identificamos las condiciones de parada: extraer las tres fichas rojas o extraer las dos fichas verdes. Luego, determinamos que nuestro evento de interés es que el proceso termine porque se han extraído las tres fichas rojas. Identificamos todas las secuencias posibles que cumplen esta condición: RRR, RRVR, RVRR y VRRR. Calculamos la probabilidad de cada secuencia, obteniendo un décimo para cada una. Finalmente, sumamos estas probabilidades para obtener la probabilidad total de dos quintos. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B: dos quintos.