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我们来解决一个消费者效用最大化问题。消费者的效用函数是分段的：当x₁大于等于x₂时，效用等于x₁加2倍的x₂；当x₁小于x₂时，效用等于2倍的x₁加x₂。首先，让我们绘制无差别曲线。在x₁等于x₂的直线上，效用函数有一个拐点。无差别曲线是由两段直线组成的折线，在45度线上连接。左上方一段斜率为-2，右下方一段斜率为-1/2。随着效用水平的增加，无差别曲线向远离原点的方向移动。
现在我们来推导财1的需求函数。通过比较预算线斜率与无差别曲线斜率，我们可以得到不同价格区间下的需求函数。当p₁小于1/2时，需求函数为m除以p₁；当p₁等于1/2时，需求量是一个区间，从2m/3到2m；当p₁在1/2到2之间时，需求函数为m除以(p₁+1)；当p₁等于2时，需求量是从0到m/3的区间；当p₁大于2时，需求量为0。在需求曲线图上，我们可以看到在p₁等于1/2和p₁等于2处有水平线段，表示需求量是一个区间。
接下来我们计算财1需求的价格弹性。价格弹性的公式是需求量对价格的偏导数乘以价格除以需求量。当p₁等于1时，需求函数为m除以(p₁+1)，需求量为m/2，对价格的偏导数为-m/4，因此价格弹性为-1/2。当p₁等于2时，需求函数在这一点不可微，因为这是一个区间，所以弹性无定义。当p₁等于3时，需求量为0，对价格的偏导数也为0，因此价格弹性为0。在图中，我们可以看到这三个价格点对应的需求曲线上的位置。
最后我们计算财1需求的所得弹性。所得弹性的公式是需求量对所得的偏导数乘以所得除以需求量。当p₁等于1/3时，需求函数为m除以p₁，即3m，对所得的偏导数为3，因此所得弹性为1。当p₁等于1时，需求函数为m除以(p₁+1)，即m/2，对所得的偏导数为1/2，所得弹性也为1。当p₁等于3时，需求量为0，对所得的偏导数也为0，因此所得弹性为0。在图中，我们可以看到这三种价格下，需求量与所得的关系。对于p₁等于1/3和p₁等于1的情况，所得弹性都等于1，表明这是正常品；而对于p₁等于3的情况，所得弹性为0，表明此时财1的需求不受所得变化的影响。
让我们总结一下这个消费者效用最大化问题的解答。首先，消费者的效用函数是分段的，在x₁等于x₂处有一个拐点。无差别曲线是向原点凸的折线，由两段直线组成，在45度线上连接。财1的需求函数根据价格区间分为五种情况：当p₁小于1/2时，需求函数为m除以p₁；当p₁等于1/2时，需求量是一个区间；当p₁在1/2到2之间时，需求函数为m除以(p₁+1)；当p₁等于2时，需求量是一个区间；当p₁大于2时，需求量为0。关于价格弹性，当p₁等于1时，价格弹性为-1/2；当p₁等于2时，弹性无定义；当p₁等于3时，价格弹性为0。关于所得弹性，当p₁等于1/3或p₁等于1时，所得弹性为1，表明财1是正常品；当p₁等于3时，所得弹性为0，表明此时财1的需求不受所得变化的影响。