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基本不等式是数学中一个重要的不等式。它指出，对于任意两个非负实数a和b，它们的算术平均数不小于几何平均数。用数学公式表示为：a加b除以2大于等于a和b的乘积的平方根。当且仅当a等于b时，等号成立。在图中，蓝线表示算术平均数为常数的点集，红曲线表示几何平均数为常数的点集。它们在a等于b的对角线上相切，这正是等号成立的条件。
现在我们来证明基本不等式。证明的关键是利用平方差恒为非负的性质。对于任意非负实数a和b，我们知道a减b的平方大于等于0。展开这个式子，得到a的平方减去2ab再加上b的平方大于等于0。两边同时加上4ab，得到a的平方加上2ab加上b的平方大于等于4ab。左边可以写成a加b的平方，所以a加b的平方大于等于4ab。两边开方，得到a加b大于等于2倍的a和b的乘积的平方根。最后两边除以2，就得到了基本不等式：a加b除以2大于等于a和b的乘积的平方根。从图中可以看出，当且仅当a等于b时，a减b的平方等于0，此时等号成立。