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韦达定理是代数学中的一组重要定理，它揭示了多项式方程的系数与根之间的关系。以一元二次方程为例，对于标准形式的一元二次方程ax平方加bx加c等于0，其中a不等于0，若方程的两个根为x₁和x₂，则根与系数之间存在以下关系：x₁加x₂等于负b除以a，x₁乘以x₂等于c除以a。这个例子中，方程x平方减x减2等于0的两个根是-1和2，我们可以验证：-1加2等于1，也等于负系数-1除以1；而-1乘以2等于-2，也等于常数项-2除以1。
现在我们来证明一元二次方程的韦达定理。设一元二次方程ax平方加bx加c等于0的两个根为x₁和x₂。根据因式分解，我们可以将方程写为a乘以(x减x₁)乘以(x减x₂)等于0。展开这个式子，得到a乘以(x平方减(x₁加x₂)x加x₁乘以x₂)等于0。将展开式与原方程ax平方加bx加c等于0对比系数，我们得到：负a乘以(x₁加x₂)等于b，所以x₁加x₂等于负b除以a；同样，a乘以x₁乘以x₂等于c，所以x₁乘以x₂等于c除以a。这就是韦达定理的证明。在图中，我们可以看到方程x平方减x减2等于0可以分解为(x加1)(x减2)等于0，对应的两个根是x₁等于负1和x₂等于2。
韦达定理在代数问题中有广泛的应用。首先，已知根求系数：如果一元二次方程的两个根为p和q，那么方程可以直接写为x平方减(p加q)x加pq等于0。其次，已知系数求根的和与积：对于方程ax平方加bx加c等于0，不需要求出具体的根值，就可以直接得到根的和等于负b除以a，根的积等于c除以a。第三，构造特定性质的方程：利用韦达定理可以构造具有特定根的方程。在图中，我们展示了两个例子：方程x平方减3x加2等于0的两个根是1和2，我们可以验证1加2等于3，1乘以2等于2；方程x平方加2x减3等于0的两个根是-3和1，我们可以验证-3加1等于-2，-3乘以1等于-3。这些都符合韦达定理。
韦达定理可以扩展到更高次的多项式方程。对于n次多项式方程a_n x的n次方加a_(n-1) x的n-1次方加...加a_1 x加a_0等于0，若方程的n个根为x₁, x₂, ..., xₙ，则有以下关系：所有根的和等于负a_(n-1)除以a_n；所有根两两相乘的和等于a_(n-2)除以a_n；以此类推，直到所有根的乘积等于(-1)的n次方乘以a_0除以a_n。以三次方程为例，对于x的三次方加px的平方加qx加r等于0，若其三个根为x₁, x₂, x₃，则有：x₁加x₂加x₃等于负p；x₁乘以x₂加x₁乘以x₃加x₂乘以x₃等于q；x₁乘以x₂乘以x₃等于负r。在图中，我们展示了方程x的三次方减2x的平方减5x加6等于0，它的三个根是-1, 2和3。我们可以验证：-1加2加3等于4，等于负(-4)，即负p；-1乘以2加-1乘以3加2乘以3等于-2减3加6等于1，等于q；-1乘以2乘以3等于-6，等于负r。这些都符合三次方程的韦达定理。
让我们总结一下韦达定理的要点。韦达定理揭示了多项式方程的系数与根之间的关系。对于一元二次方程ax平方加bx加c等于0，根的和等于负b除以a，根的积等于c除以a。这一定理可以扩展到任意次数的多项式方程，为高次方程提供了系数与根之间的关系。韦达定理在数学中有广泛的应用，包括求解方程、构造特定方程、简化计算等。它是代数学中连接方程系数与根的重要桥梁，为我们理解多项式方程提供了强大的工具。