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三角函数是代数2中的重要内容，它们描述了角度与直角三角形边长比值之间的关系。最基本的三角函数有三个：正弦函数，定义为对边比斜边；余弦函数，定义为邻边比斜边；正切函数，定义为对边比邻边，也等于正弦比余弦。在直角三角形中，我们用θ表示一个角，然后通过边长比值来定义这些函数。
三角函数也可以通过单位圆来定义。在单位圆中，我们从原点画一条长度为1的半径，与正x轴形成角度θ。这条半径的终点在圆上的坐标为(x,y)。此时，x坐标就等于余弦θ，y坐标就等于正弦θ。正切θ则等于y除以x，也就是正弦θ除以余弦θ。当我们改变角度θ时，点在单位圆上移动，正弦和余弦的值也随之变化。这种定义使我们能够计算任意角度的三角函数值，而不仅限于直角三角形中的锐角。
三角函数的图像展示了它们的周期性质。在这个坐标系中，横轴表示角度θ，从0到2π；纵轴表示函数值，范围从-1到1。蓝色曲线是正弦函数的图像。正弦函数从0开始，在π/2时达到最大值1，在π时回到0，在3π/2时达到最小值-1，最后在2π处又回到0。红色曲线是余弦函数的图像。余弦函数从1开始，在π/2时降到0，在π时达到最小值-1，在3π/2时回到0，最后在2π处又回到1。这两个函数都是周期为2π的周期函数，它们的图像会无限重复这种波动模式。
三角函数在现实世界中有许多重要应用。在物理学中，它们用于描述波动、振动和周期运动，比如简谐运动、声波和光波。在工程学中，三角函数用于结构设计、电路分析和信号处理。在导航领域，GPS定位、航海和航空都依赖于三角函数的计算。在音乐中，声波可以通过三角函数进行分析和合成。在计算机图形学中，三角函数用于实现旋转和变换。这个简单的动画展示了一个摆动的钟摆，它的运动可以用正弦函数来描述，这是三角函数应用的一个基本例子。
三角函数之间存在许多重要的恒等式关系。最基本的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1。这个恒等式可以通过单位圆直观理解：在单位圆上任取一点，其x坐标是余弦值，y坐标是正弦值，由于点在单位圆上，所以x平方加y平方等于1。此外，还有和差角公式，它们描述了两个角的和或差的正弦和余弦。倍角公式则给出了角度翻倍时的三角函数值。这些恒等式在三角学、微积分和物理学中都有广泛应用，是解决复杂问题的重要工具。