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三角函数是数学中的重要函数，它们源于直角三角形中角与边的关系。在直角三角形中，我们定义三条边：斜边是直角对面的边，对边是与角θ对应的边，邻边是与角θ相邻的边。这些边的比值关系构成了基本的三角函数。
基于直角三角形，我们可以定义三个基本的三角函数。正弦函数，定义为对边比斜边，即b除以c。余弦函数，定义为邻边比斜边，即a除以c。正切函数，定义为对边比邻边，即b除以a，也等于正弦除以余弦。这些比值关系是三角函数的基础，它们在不同大小的相似三角形中保持不变。
单位圆是理解三角函数的另一种方式。单位圆是以原点为圆心，半径为1的圆。在单位圆上，我们可以用角度θ来确定圆上的一点。这个点的x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化。正切函数则等于y坐标除以x坐标，也就是正弦除以余弦。这种定义使我们能够将三角函数扩展到任意角度。
现在我们来推导三角函数的基本公式。最重要的是勾股恒等式：正弦平方加余弦平方等于1。这个公式可以从单位圆直接推导。在单位圆中，任意一点的坐标(x,y)满足方程x平方加y平方等于1。由单位圆的定义，我们知道x等于余弦θ，y等于正弦θ。将这些代入圆的方程，我们得到余弦平方θ加正弦平方θ等于1。这个恒等式反映了直角三角形中勾股定理的本质。另一个重要公式是正切等于正弦除以余弦，这直接来自于它们的定义。
最后，让我们看看三角函数的图像和总结它们的重要性质。正弦函数的图像是一条波浪形曲线，从0开始，在π/2时达到最大值1，在π时回到0，在3π/2时达到最小值-1，然后在2π时又回到0。余弦函数的图像与正弦函数相似，但有π/2的相位差，它从1开始。这两个函数都具有2π的周期性。三角函数的重要性质包括周期性、对称性和恒等式。通过单位圆，我们可以直观地理解这些性质。当点在单位圆上移动时，它的坐标对应着正弦和余弦值，这些值反映在函数图像上。这种几何解释帮助我们理解三角函数的本质和它们的公式推导。