视频字幕
这道题目要求计算曲面积分。曲面Σ是由z轴绕直线x等于t，y等于t，z等于t旋转一周得到的曲面。Σ₁是Σ介于平面x加y加z等于0与x加y加z等于1之间部分的外侧。我们需要计算曲面积分，其中被积表达式是x乘以dydz加上y加1乘以dzdx加上z加2乘以dxdy。
首先，我们需要确定曲面Σ的方程。Σ是由z轴绕直线x等于t，y等于t，z等于t旋转一周得到的曲面。曲面上任意一点P到旋转轴的距离等于z轴上某点到旋转轴的距离。通过计算距离平方，我们得到方程：x乘以y加上x乘以z加上y乘以z等于0。这是一个以原点为顶点，旋转轴为轴的圆锥面方程。
现在我们应用散度定理来计算曲面积分。首先，我们识别向量场F等于(x, y+1, z+2)。曲面Σ₁是圆锥面在平面x+y+z=0与x+y+z=1之间部分的外侧。为了使用散度定理，我们需要构造一个封闭曲面。我们将Σ₁与平面x+y+z=1上的椭圆盘S₂围成一个封闭曲面。计算向量场的散度，得到散度等于3。根据散度定理，我们有体积积分等于曲面积分的和。因此，我们可以将Σ₁上的曲面积分表示为体积积分减去S₂上的曲面积分。