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求导是微积分中的基本操作，用于计算函数在某一点的瞬时变化率。从几何角度看，导数表示函数图像在该点的切线斜率。我们可以用f'(x)、df/dx或d/dx[f(x)]来表示导数。在这个例子中，函数f(x)等于x的平方除以2，它的导数f'(x)等于x。当我们在不同的点计算导数时，可以看到切线的斜率在变化，这正是导数的直观含义。
求导有几个基本法则需要掌握。常数的导数为零，这意味着常数函数的斜率处处为零。幂法则告诉我们，x的n次方的导数是n乘以x的n-1次方。加减法则表明，函数和或差的导数等于各函数导数的和或差。乘积法则用于计算两个函数乘积的导数，而商法则用于计算两个函数商的导数。在右侧的图中，我们可以看到函数f(x)等于x的平方，它的导数f'(x)等于2x，这正是应用幂法则的结果。
链式法则是求复合函数导数的关键法则。当一个函数嵌套在另一个函数内部时，我们需要使用链式法则。链式法则表明，复合函数f(g(x))的导数等于外层函数f'在g(x)处的值乘以内层函数g'(x)。应用链式法则时，首先要识别出外层函数f和内层函数g，然后分别求出它们的导数，最后将g(x)代入f'并乘以g'(x)。以求sin(x²)的导数为例，我们可以将外层函数f(u)视为sin(u)，内层函数g(x)视为x²。f'(u)等于cos(u)，g'(x)等于2x，所以最终导数为cos(x²)·2x，即2x·cos(x²)。右侧图表展示了函数sin(x²)及其导数2x·cos(x²)的图像。
掌握常见函数的导数公式可以大大简化求导过程。指数函数e的x次方的导数仍然是它自己，这是一个独特的性质。自然对数函数ln|x|的导数是1/x。三角函数中，正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，正切的导数是平方正割。反三角函数也有特定的导数公式，例如反正弦的导数是1除以根号下1减x的平方，反正切的导数是1除以1加x的平方。右侧图表展示了正弦和余弦函数，它们的导数关系正如公式所示：正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。记住这些常见导数公式对解决复杂的微分问题非常有帮助。
让我们总结一下求导的关键点。求导是计算函数在某一点的瞬时变化率，其几何意义是函数图像在该点的切线斜率。掌握基本求导法则是关键，包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则、商法则和链式法则。记住常见函数的导数公式可以大大简化计算过程。求导在物理学中用于描述运动，在经济学中用于边际分析，在工程学中用于优化设计，应用非常广泛。通过不断练习，你会逐渐熟悉各种求导技巧，提高解决问题的能力。