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我们来解决这道函数方程问题。已知函数f(x)是一个分段函数，当x大于1时，f(x)等于ln x；当x小于等于1时，f(x)等于四分之一x加1。函数g(x)等于ax，是一条过原点的直线，其中a是待定系数。我们需要确定实数a的取值范围，使得方程g(x)等于f(x)恰好有两个不同的实数根。首先，让我们理解这两个函数的图像。f(x)在x小于等于1的部分是一条直线，斜率为四分之一，在点(1,5/4)处与对数函数部分相连。
现在，我们来分析函数g(x)=ax与f(x)的交点情况。首先，当x小于等于1时，我们需要解方程ax等于四分之一x加1。如果a等于四分之一，这个方程变为0等于1，无解。如果a不等于四分之一，解得x等于1除以(a减四分之一)。当a等于四分之一时，直线g(x)与f(x)的左半部分平行，没有交点。让我们看看当a等于四分之一时的情况。
接下来，我们分析当x大于1时的情况，此时需要解方程ax等于ln x。我们令h(x)等于ax减ln x，寻找h(x)等于0的解。求导得h'(x)等于a减1/x。当h'(x)等于0时，x等于1/a，这是h(x)的极值点。通过分析可知，当0小于a小于1/e时，h(x)在x大于1的区间有两个零点，也就是说方程ax等于ln x有两个解。当a等于1/e时，h(x)在x等于e处有一个零点，此时是切点。当a大于1/e时，h(x)在x大于1的区间没有零点。让我们看看当a等于1/e时的情况，此时直线与对数曲线在点(e,1)处相切。
现在，我们来综合分析交点情况，确定a的取值范围。当a等于四分之一时，在x小于等于1的区间没有交点，在x大于1的区间有两个交点，总共有2个交点。当a在四分之一到1/e之间时，同样在x小于等于1的区间没有交点，在x大于1的区间有两个交点，总共有2个交点。当a等于1/e时，在x小于等于1的区间没有交点，在x大于1的区间有一个交点，总共有1个交点。当a大于1/e或小于四分之一时，交点总数不等于2。让我们看看当a等于0.3（介于四分之一和1/e之间）时的情况，此时直线与对数曲线有两个交点。因此，使得方程g(x)等于f(x)恰好有两个不同实数根的a的取值范围是四分之一小于等于a小于1/e，即[1/4, 1/e)。
让我们总结一下这道题的解题思路。函数方程g(x)等于f(x)的解就是两个函数图像的交点。由于f(x)是分段函数，我们需要分区间讨论交点情况。对于x小于等于1的区间，我们解方程ax等于四分之一x加1；对于x大于1的区间，我们解方程ax等于ln x。通过分析不同a值下的交点情况，我们发现当a在四分之一到1/e之间（包含四分之一，不包含1/e）时，方程恰好有两个不同的实数根。因此，a的取值范围为[1/4, 1/e)。这种分析函数图像交点的方法在解决函数方程问题时非常有效。