用切线放缩和凹凸性反转来证明这个题的第一问---17. (15 分) 函数 f(x) = e^x - ax, a ∈ R. (1) 证明: 当 a = 1 时, f(x) > lnx + 1. (2) 当 x ≥ 0 时, f(x) ≥ (x+1)^2 恒成立, 求 a 的取值范围.

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我们要证明当a等于1时，函数f(x)=e^x-x大于ln(x)+1。首先，我们设g(x)=e^x-x-ln(x)-1，这样我们只需要证明g(x)大于0。我们的证明思路是分析g(x)的凹凸性，找到它的最小值，然后证明这个最小值大于零。从图中可以看出，g(x)是一个凸函数，它在某一点x_0处取得最小值。 现在我们来分析函数g(x)的凹凸性。首先计算g(x)的一阶导数和二阶导数。g'(x)等于e^x减1再减1/x，g''(x)等于e^x加1/x²。对于所有x大于0，e^x和1/x²都是正数，所以g''(x)恒大于0。这意味着g(x)在整个定义域(0,+∞)上是严格凸函数。根据凸函数的性质，如果g(x)存在极值点，那么这个点一定是全局最小值点。从图中可以看到，g(x)的二阶导数（红色曲线）始终在x轴上方，证实了函数的凸性。