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无穷级数是数学中的一个重要概念，它表示将一个无穷数列的项按照一定的顺序加起来的表达式。给定一个无穷数列a_1, a_2, a_3, 以此类推，将这些项依次相加形成的表达式称为无穷级数，通常用求和符号表示。在图中，我们可以看到一个数列的各项，以及它们的部分和。研究无穷级数的关键问题是确定这个无限的加法过程是否会收敛到一个有限值。
无穷级数的核心问题是研究其收敛性。当级数的部分和数列随着项数增加趋向于一个有限值时，我们称该级数收敛。例如，交错调和级数收敛到自然对数ln(2)。而当部分和不断增大且没有上限，或者在无穷远处振荡不定时，我们称级数发散。普通的调和级数就是一个典型的发散级数，它的部分和会无限增大。判断级数的收敛性是分析级数的第一步，也是应用级数解决实际问题的基础。
让我们来看几个常见的无穷级数及其收敛性。几何级数是形如a + ar + ar² + ar³ + ...的级数，当公比r的绝对值小于1时，级数收敛，和为a/(1-r)。例如，当r=0.5时，级数收敛到2。调和级数是所有自然数倒数的和，它是发散的，尽管它增长得非常缓慢。p-级数是形如1 + 1/2ᵖ + 1/3ᵖ + ...的级数，当p大于1时收敛，当p小于等于1时发散。当p=2时，级数收敛到π²/6，这是著名的巴塞尔问题的结果。
为了判断无穷级数是否收敛，数学家们发展了多种判别法。比较判别法通过将待判断的级数与已知收敛或发散的级数进行比较来确定其收敛性。比值判别法考察相邻项的比值极限，当极限小于1时级数收敛，大于1时发散。根值判别法则考察项的n次方根的极限。图中展示了三个收敛级数的通项：几何级数的通项(1/2)ⁿ，阶乘倒数级数1/n!，以及p级数中p=2时的通项1/n²。以几何级数为例，应用比值判别法，相邻项的比值极限为1/2小于1，因此级数收敛。
无穷级数在数学和科学中有广泛的应用。泰勒级数允许我们将函数表示为幂级数的和，这在函数近似和微分方程求解中非常有用。例如，图中展示了高斯函数e的负x平方的泰勒展开，随着项数增加，近似越来越精确。傅里叶级数则将周期函数表示为三角函数的和，这在信号处理和偏微分方程中有重要应用。此外，无穷级数还用于数值计算，例如通过交错级数计算π值。无穷级数的理论和应用是现代数学和科学的基石，它们连接了分析学、代数和应用数学的多个领域。