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三角函数是数学中的一组重要函数，用于描述直角三角形中角度与边长之间的关系。在直角三角形中，我们有角θ，对边b，邻边a，和斜边c。基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。正弦函数定义为对边除以斜边，余弦函数定义为邻边除以斜边，而正切函数定义为对边除以邻边，也等于正弦除以余弦。
三角函数还可以通过单位圆来理解。在单位圆中，角θ对应圆上的一点，其x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化。正切函数则等于y坐标除以x坐标。单位圆也直观地展示了三角函数的周期性，当角度增加2π时，函数值回到原点，开始新的循环。
三角函数的图像展示了其周期性质。正弦函数图像类似波浪，从0开始，在π/2时达到最大值1，在π时回到0，在3π/2时达到最小值-1，最后在2π回到0，如此循环。余弦函数则类似，但横向移动了π/2，从1开始，经0、-1，再回到1。这两函数都是周期为2π的周期函数，在物理、工程等领域有广泛应用。
三角函数有许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，它可以通过单位圆直观理解。在单位圆中，点(cosθ, sinθ)到原点的距离恒为1，根据勾股定理，cos²θ + sin²θ = 1。此外还有加法公式、负角公式和周期公式等。这些恒等式在数学、物理、工程等多个领域有广泛应用，如波动分析、信号处理和电路理论。
总结一下，三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的函数，基本三角函数包括正弦、余弦和正切。单位圆提供了理解三角函数的几何模型，通过单位圆可以直观地看到三角函数的定义和性质。三角函数具有2π的周期性，这使它们在描述周期性现象时非常有用。三角恒等式，如勾股恒等式和加法公式等，在数学、物理、工程等领域有广泛的应用。通过学习三角函数，我们能更好地理解和描述自然界中的周期性现象。