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积分是微积分中的核心概念，主要分为两类。不定积分是求一个函数的原函数，表示为积分符号加上函数f(x)和dx，等于F(x)加上积分常数C，其中F'(x)等于f(x)。定积分是求曲线下的面积，表示为带上下限的积分符号，等于原函数在上下限处的函数值之差。右侧图形展示了函数f(x)在区间a到b之间与x轴围成的面积，这就是定积分的几何意义。
积分计算的基础是掌握常见函数的积分公式。幂函数的积分是x的n+1次方除以n+1再加上积分常数，这里n不等于负1。当n等于负1时，也就是1/x的积分，结果是x的自然对数的绝对值加上积分常数。指数函数e的x次方的积分仍然是它本身加上积分常数。正弦函数的积分是负余弦函数加上积分常数，而余弦函数的积分是正弦函数加上积分常数。右侧图形展示了函数f(x)等于x平方的积分过程，得到原函数F(x)等于x的三次方除以3。
积分有几种常用的计算方法。第一种是换元法，通过变量替换将复杂积分转化为基本积分。例如，当我们计算sin(x²)·2x的积分时，可以令u等于x²，则du等于2x·dx，这样原积分就变成了sin(u)·du的形式，可以直接套用公式得到结果为负cos(u)，即负cos(x²)。第二种是分部积分法，适用于两个函数的乘积形式，公式是第一个函数乘以第二个函数的积分，再减去第二个函数乘以第一个函数的导数的积分。第三种是部分分式法，主要用于有理函数的积分，通过将分式分解为更简单的形式来计算。
计算定积分的基本步骤是：首先，求出被积函数的原函数F(x)；然后，计算F(b)减去F(a)，其中a和b是积分区间的上下限。如果原函数难以求出，可以考虑使用数值积分法、几何方法或利用定积分的性质。以计算0到1区间上x平方的定积分为例，我们先求出原函数F(x)等于x的三次方除以3加上积分常数C。然后计算F(1)减去F(0)，得到1/3减去0，结果为1/3。从几何角度看，这个定积分表示的是y等于x平方的曲线与x轴、x等于0和x等于1这三条直线所围成的面积，计算结果也是1/3。
积分在各个领域都有广泛的应用。在几何学中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴围成的区域面积，以及旋转体的体积。在物理学中，速度函数的积分可以得到位移，力沿路径的积分可以计算功。在概率论中，概率密度函数的积分可以计算概率。积分是数学、物理、工程等领域的基础工具，掌握积分的概念和计算方法对于解决实际问题非常重要。