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向量是既有大小又有方向的量，与只有大小没有方向的标量相对。在几何上，向量可以用带箭头的线段表示，箭头指示方向，线段长度表示大小。在这个例子中，蓝色的向量a和红色的向量b都有各自的方向和大小。向量的大小也称为向量的模，通常用竖线表示，如|a|和|b|。
向量可以通过几何和代数两种方式表示。几何表示是用带箭头的线段，而代数表示则是用有序数对或数组。在二维平面上，向量可以表示为(a₁, a₂)，其中a₁是x轴分量，a₂是y轴分量。例如，蓝色向量a可以表示为(2, 1)。在三维空间中，向量表示为(b₁, b₂, b₃)，增加了z轴分量。代数表示使我们能够精确地描述向量，并进行数学运算。
向量的基本运算包括加法、减法和标量乘法。向量加法遵循平行四边形法则，将两个向量放在同一起点，形成平行四边形，对角线即为和向量。代数上，向量a加向量b等于各分量相加。向量减法可以看作是加上一个相反向量，即a减b等于a加上负b，代数上表示为各分量相减。标量乘法是将向量的每个分量乘以同一个标量，这会改变向量的大小，如果标量为负，还会改变方向。
向量有几个重要概念。首先是向量的模，表示向量的大小，计算方法是各分量平方和的平方根。对于向量a(2,1)，其模为根号5。单位向量是模为1的向量，可以通过将原向量除以其模得到，保持方向不变。图中绿色箭头是向量a的单位向量。零向量是模为0的向量，表示为(0,0)，在坐标系原点处，其方向不确定。这些概念在向量运算和应用中非常重要。
向量的积运算包括点乘和叉乘。点乘，也称内积，结果是一个标量，计算公式为两向量模的乘积再乘以夹角余弦，或者各对应分量乘积之和。点乘在计算投影和功等物理量时很有用。叉乘，也称外积，结果是一个向量，垂直于原两个向量所在平面，大小为两向量模的乘积再乘以夹角正弦。在二维平面上，叉乘结果可以看作垂直于平面的向量。向量运算广泛应用于物理学、几何学和计算机图形学等领域。