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三角函数是数学中的一组重要函数，用于描述直角三角形中角度与边长之间的关系。在直角三角形中，我们有角θ，对边b，邻边a，和斜边c。最基本的三角函数包括正弦、余弦和正切。正弦函数定义为对边除以斜边，余弦函数定义为邻边除以斜边，而正切函数定义为对边除以邻边。这些关系帮助我们在知道一个角和一条边时，计算三角形的其它边长。
三角函数还可以通过单位圆来理解。在单位圆中，角θ对应圆上的一点，其x坐标就是余弦值，y坐标就是正弦值。当点沿着单位圆移动时，正弦和余弦值随之变化。正切函数则等于y坐标除以x坐标，也就是正弦除以余弦。单位圆的定义将三角函数从锐角扩展到了任意角度，包括钝角、负角以及大于360度的角。
三角函数的图像展示了其周期性质。正弦函数图像类似波浪，从0开始，在π/2时达到1，在π时回到0，在3π/2时降至-1，最后在2π回到0，如此循环。余弦函数则类似，但横向移动了π/2，从1开始，经0、-1，再回到1。这两函数都是周期为2π的周期函数，值域都在-1到1之间。正弦和余弦图像的相位差为π/2，这意味着正弦图像向左移动π/2就得到余弦图像。
三角函数有许多重要的恒等式。最基本的是勾股恒等式：sin²θ + cos²θ = 1，它可以通过单位圆中的直角三角形来理解。此外还有加法公式，如sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ，以及cos(α±β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ。负角公式告诉我们sin(-θ) = -sinθ，而cos(-θ) = cosθ。这些恒等式在数学、物理、工程等多个领域有广泛应用，是解决复杂问题的重要工具。
总结一下，三角函数是描述直角三角形中角度与边长关系的函数，基本三角函数包括正弦、余弦和正切。通过单位圆，我们可以得到三角函数的几何解释，并将定义域扩展到任意角度。三角函数具有周期性，正弦和余弦的周期为2π。三角恒等式，如sin²θ + cos²θ = 1，在数学、物理和工程等领域有着广泛的应用。掌握三角函数的基本概念和性质，对于学习高等数学和解决实际问题都非常重要。