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复函数是指自变量和因变量都是复数的函数。通常表示为w等于f(z)，其中z和w都是复数。复函数建立了从一个复平面到另一个复平面的映射关系。例如，当我们有一个复数z等于1加0.5i时，通过复函数f可以将其映射到另一个复数w。
复函数可以表示为实部和虚部的组合形式。如果我们有一个复函数f(z)，其中z等于x加iy，那么这个函数可以写成u(x,y)加iv(x,y)的形式。这里u和v都是实变量x和y的实值函数。例如，对于函数f(z)等于z的平方，我们可以将其展开为x平方减y平方，加上i乘以2xy。其中x平方减y平方是实部u(x,y)，而2xy是虚部v(x,y)。图中展示了实部u(x,y)等于x平方减y平方的三维曲面。
复变函数具有重要的几何意义，它可以看作是从一个复平面到另一个复平面的映射。映射f将z平面上的点变换到w平面上的点。例如，函数f(z)等于z的平方，会将z平面上的一个正方形变换为w平面上的一个曲线图形。复变函数的映射具有一些重要性质，比如保角性，即在解析点处保持角度；以及共形性，即保持局部形状。这些性质使得复变函数在物理学、工程学等领域有广泛应用。
复变函数的一个重要概念是解析性。解析函数是满足柯西-黎曼方程的复变函数，这个方程要求函数的实部u和虚部v的偏导数之间满足特定关系。解析函数具有许多重要性质：它在定义域内处处可微分，其实部和虚部都是调和函数，并且可以表示为幂级数。例如，指数函数e的z次方是一个解析函数，它可以表示为e的x次方乘以余弦y加上i乘以正弦y。解析函数还满足柯西积分定理，即沿着闭合曲线C的积分等于零；以及柯西积分公式，它表明闭合曲线内任意点z0处的函数值可以用曲线上的函数值表示。
复变函数在多个领域有重要应用。在物理学中，它用于描述电场、流体力学和热传导问题；在工程学中，应用于信号处理和控制理论；在数学中，用于解决微分方程和进行积分变换；在量子力学中，用于描述波函数和薛定谔方程。复变函数的核心概念包括：复数映射，即从z平面到w平面的变换；解析性，即满足柯西-黎曼方程的性质；以及共形映射，即保持角度和局部形状的特性。这些概念和性质使得复变函数成为现代数学和应用科学中不可或缺的工具。