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微積分是數學中研究變化的重要分支，主要由兩大部分組成：微分學和積分學。微分學研究的是函數在某一點的瞬間變化率，例如曲線在某點的切線斜率。積分學則研究的是累積效應，例如曲線下的面積。這兩個概念看似不同，但實際上它們是緊密相連的，這種聯繫通過微積分基本定理得到了證明。
微分學研究的是函數在某一點的瞬間變化率。它的核心概念包括極限和導數。極限描述了當變量無限接近某個值時，函數的行為。而導數則精確定義了函數在某點的瞬時變化率或切線斜率。導數是通過計算當兩點無限接近時，割線斜率的極限得到的。對於函數f(x)=x平方，其導數f'(x)=2x，表示在任意點x，函數的變化率都是2x。微分在優化問題、速度計算和函數分析等領域有廣泛應用。
積分學研究的是累積效應，例如曲線下的面積。它的核心概念包括黎曼和、定積分和不定積分。黎曼和是通過將曲線下的區域分割成許多小矩形，然後將這些矩形的面積相加來近似總面積。當矩形數量無限增加，寬度無限減小時，黎曼和的極限就是定積分，表示曲線下的精確面積。不定積分則是微分的逆運算，用於尋找原函數。對於函數f(x)=x平方，從0到2的定積分值為8/3，代表這段區間內曲線下的面積。積分在計算面積、體積、功和總累積量等方面有廣泛應用。
微積分基本定理是微積分中最核心的定理，它建立了微分和積分之間的聯繫。這個定理指出，微分和積分是互逆的運算。具體來說，如果F(x)是f(x)的原函數，那麼從a到b的定積分等於F(b)減去F(a)。這個定理極大地簡化了定積分的計算。原本需要通過複雜的黎曼和極限來計算面積，現在只需要找到被積函數的原函數，然後計算原函數在區間端點的值之差即可。例如，對於函數f(x)=x平方，其原函數F(x)=x立方除以3，從a到b的定積分就等於F(b)減F(a)，這正好等於曲線下的面積。
微積分是數學中研究變化的重要分支，由微分學和積分學兩大部分組成。微分研究的是瞬間變化率，例如速度、加速度和曲線的切線斜率；積分則研究累積效應，例如位移、面積和體積。微積分基本定理揭示了微分與積分之間的互逆關係，極大地簡化了定積分的計算。微積分在物理學、工程學、經濟學和生物學等眾多領域有廣泛應用。在物理學中，它用於分析運動和電磁現象；在工程學中，它用於結構分析和控制系統設計；在經濟學中，它用於邊際分析和成本優化。此外，微積分還應用於信號處理、人口增長模型和經濟預測等實際問題。總之，微積分提供了一套強大的工具來分析和解決涉及變化的問題，是現代科學和技術發展的基礎。