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这道题目要求我们求解一个长方体的体积。已知这个长方体表面涂有红色，切割成边长为1的小立方体后，有40个小立方体有两个面是红色的，有66个小立方体有一个面是红色的。我们需要分析不同位置的小立方体有多少个面是红色的。位于角上的小立方体有三个面是红色的，位于棱上的小立方体有两个面是红色的，位于面上的小立方体有一个面是红色的，而内部的小立方体没有红色面。
让我们详细分析一下这个问题。假设长方体的三条棱长分别为L, W, H。首先，角上的小立方体有三个面是红色的，一共有8个。棱上的小立方体有两个面是红色的，数量为4乘以(L-2)加上4乘以(W-2)再加上4乘以(H-2)，等于40。面上的小立方体有一个面是红色的，数量为2乘以(L-2)乘以(W-2)加上2乘以(L-2)乘以(H-2)再加上2乘以(W-2)乘以(H-2)，等于66。内部的小立方体没有红色面，数量为(L-2)乘以(W-2)乘以(H-2)。
现在让我们求解这个问题。根据题目条件，两面有红色的小立方体数量是40，即4乘以(L-2)加上4乘以(W-2)再加上4乘以(H-2)等于40。整理得到L加W加H等于16。一面有红色的小立方体数量是66，即2乘以(L-2)乘以(W-2)加上2乘以(L-2)乘以(H-2)再加上2乘以(W-2)乘以(H-2)等于66。整理并代入L加W加H等于16，我们得到LW加LH加WH等于85。通过尝试各种整数值，我们发现当L=5，W=5，H=6时，满足这两个条件。因此，长方体的体积为5乘以5乘以6等于150。我们可以验证这个解确实满足题目中给出的条件。
让我们详细分析一下这个问题。假设长方体的三条棱长分别为L, W, H。首先，角上的小立方体有三个面是红色的，一共有8个。棱上的小立方体有两个面是红色的，数量为4乘以(L-2)加上4乘以(W-2)再加上4乘以(H-2)，等于40。面上的小立方体有一个面是红色的，数量为2乘以(L-2)乘以(W-2)加上2乘以(L-2)乘以(H-2)再加上2乘以(W-2)乘以(H-2)，等于66。内部的小立方体没有红色面，数量为(L-2)乘以(W-2)乘以(H-2)。
现在让我们求解这个问题。根据题目条件，两面有红色的小立方体数量是40，即4乘以(L-2)加上4乘以(W-2)再加上4乘以(H-2)等于40。整理得到L加W加H等于16。一面有红色的小立方体数量是66，即2乘以(L-2)乘以(W-2)加上2乘以(L-2)乘以(H-2)再加上2乘以(W-2)乘以(H-2)等于66。整理并代入L加W加H等于16，我们得到LW加LH加WH等于85。通过尝试各种整数值，我们发现当L=5，W=5，H=6时，满足这两个条件。因此，长方体的体积为5乘以5乘以6等于150。我们可以验证这个解确实满足题目中给出的条件。
让我们总结一下这道题目。我们需要求解一个棱长为整数的长方体的体积，已知两面有红色的小立方块有40块，一面有红色的小立方块有66块。解题思路是分析不同位置小立方体的红色面数量，建立方程并求解。通过整理方程，我们得到L加W加H等于16，以及LW加LH加WH等于85。尝试不同的整数组合后，我们找到了满足条件的解：L=5，W=5，H=6。因此，长方体的体积为5乘以5乘以6等于150。这个解也通过了验证，确实满足题目中给出的条件。
总结这道题目的关键要点：长方体切割问题可以通过分析不同位置小立方体的特性来解决。角上的小立方体有3个红色面，棱上有2个红色面，面上有1个红色面。通过建立方程组并求解，我们得到长方体的三边长分别为5、5和6。因此，长方体的体积为150立方单位。解题的关键在于正确分析小立方体的位置与红色面数量之间的关系，并通过代数方法求解方程组。