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这是一道高考中常见的三角函数题型。已知函数f(x)等于2乘以正弦x除以2乘以余弦x除以2，加上余弦x除以2的平方，减去正弦x除以2的平方。我们需要化简函数表达式，并求出函数的最小正周期和值域。函数图像如右图所示，接下来我们将一步步解决这个问题。
首先，我们利用二倍角公式来化简函数表达式。对于第一部分，2乘以正弦x除以2乘以余弦x除以2，我们可以应用正弦的二倍角公式：正弦2θ等于2乘以正弦θ乘以余弦θ。将θ替换为x除以2，得到这部分等于正弦x。对于第二部分，余弦x除以2的平方减去正弦x除以2的平方，我们可以应用余弦的二倍角公式：余弦2θ等于余弦θ的平方减去正弦θ的平方。同样将θ替换为x除以2，得到这部分等于余弦x。因此，原函数f(x)可以化简为正弦x加余弦x。从图像上可以看出，红色曲线表示化简后的函数，与蓝色原函数完全重合，验证了我们的化简是正确的。
接下来，我们利用辅助角公式进一步化简函数。对于形如a乘以正弦x加b乘以余弦x的表达式，可以化简为根号下a平方加b平方乘以正弦x加φ，其中φ是一个辅助角。在我们的函数中，a等于1，b等于1，所以根号下a平方加b平方等于根号2。根据辅助角的定义，余弦φ等于a除以根号下a平方加b平方，即1除以根号2，等于根号2除以2。正弦φ等于b除以根号下a平方加b平方，也是根号2除以2。这对应的角是π/4。因此，函数f(x)最终可以化简为根号2乘以正弦x加π/4。从图像上看，绿色曲线表示最终化简后的函数，与红色曲线完全重合，验证了我们的化简结果。
现在我们来求函数的最小正周期。对于形如A乘以正弦ωx加φ的函数，其最小正周期T等于2π除以ω的绝对值。在我们的函数f(x)等于根号2乘以正弦x加π/4中，A等于根号2，ω等于1，φ等于π/4。因此，最小正周期T等于2π除以1，即2π。从图像上看，我们可以清楚地看到函数每2π重复一次。红色标记的是第一个周期，蓝色标记的是第二个周期，它们的长度都是2π。这验证了我们计算的周期是正确的。
最后，我们来求函数的值域。对于形如A乘以正弦ωx加φ的函数，其值域为负A到正A的闭区间。在我们的函数f(x)等于根号2乘以正弦x加π/4中，A等于根号2。因此，函数的值域为负根号2到正根号2的闭区间，即[-√2, √2]，约等于[-1.414, 1.414]。从图像上看，函数的最大值出现在红点处，值为√2；最小值出现在蓝点处，值为-√2。红色和蓝色虚线分别表示函数的上界和下界。总结一下，通过二倍角公式和辅助角公式，我们将原函数化简为根号2乘以正弦x加π/4的形式。函数的最小正周期为2π，值域为[-√2, √2]。这是高考中常见的三角函数题型，需要灵活运用三角恒等变换和辅助角公式。