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导数是函数在某一点的瞬时变化率，或者说是函数在该点切线的斜率。它描述了当自变量发生微小变化时，因变量变化的快慢程度。函数f(x)在点x处的导数通常记作f'(x)或dy/dx，其定义为：当h趋近于0时，f(x+h)减去f(x)除以h的极限。在图中，红色点所在位置的切线斜率，就是该点的导数值。
导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率。对于函数y=f(x)，在点(x₀,f(x₀))处的导数f'(x₀)等于切线与x轴正方向的夹角α的正切值。在图中，红色点处的切线与x轴形成的角度α，其正切值就是该点的导数值。对于二次函数y=x²，在x=2处的导数值为4，这也是该点切线的斜率。
导数的物理意义是瞬时变化率。在物理学中，导数有许多重要应用。例如，位移对时间的导数是速度，表示位置随时间变化的快慢。速度对时间的导数是加速度，表示速度随时间变化的快慢。在图中，蓝色曲线表示物体的位移函数s(t)=t²，在任意时刻t，该函数的导数值就是物体在该时刻的瞬时速度v(t)=2t，也就是曲线在该点的切线斜率。
导数的计算有多种方法和公式。常见函数的导数公式包括：常数的导数为0；幂函数x的n次方的导数是n乘以x的n-1次方；正弦函数的导数是余弦函数；余弦函数的导数是负的正弦函数；指数函数e的x次方的导数是它本身；自然对数的导数是1除以x。导数还有一些基本运算法则：和差的导数等于导数的和差；乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数；商的导数等于分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方。在图中，我们可以看到正弦函数的导数确实是余弦函数，因为正弦曲线上任意一点的切线斜率，恰好等于该点对应的余弦值。
总结一下导数的核心概念：导数是函数在某一点的瞬时变化率，表示函数图像在该点的切线斜率。导数的几何意义是函数图像在该点的切线斜率，切线与x轴正方向的夹角α的正切值就是导数值。导数的物理意义是物理量的瞬时变化率，如位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度。导数广泛应用于函数的极值、单调性和凹凸性分析，是微积分的核心概念之一。导数在物理、经济、工程等众多领域都有重要应用，是描述变化率的强大数学工具。