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二次函数是形如y等于ax平方加bx加c的函数，其中a、b、c是常数，且a不等于0。二次函数的图像是一条抛物线。这里展示的是函数y等于x平方减2x加1的图像。抛物线的顶点在坐标(1,0)处，对称轴是直线x等于1。当x值变化时，y值沿着抛物线变化。
二次函数有几个重要性质。首先，当系数a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。其次，抛物线有一个顶点，其坐标可以通过公式计算得出。最后，抛物线关于一条垂直于x轴的直线对称，这条直线称为对称轴。现在，我们通过改变系数a的值，观察抛物线形状的变化。
二次函数的标准形式是y等于a乘以x减h的平方加k。在这个形式中，点(h,k)是抛物线的顶点，x等于h是抛物线的对称轴，而系数a决定了抛物线的开口方向和宽窄。我们可以通过配方法将一般形式转换为标准形式。现在，让我们通过改变h和k的值，观察抛物线位置的变化。
二次函数在实际生活中有广泛的应用。首先，它可以用来解决最值问题，比如求函数的最大值或最小值。在物理学中，抛物线运动和自由落体都可以用二次函数描述。在经济学中，二次函数常用于成本、收益和利润分析。这个图表展示了一个经济应用的例子：蓝线表示收入，红线表示成本，绿线表示利润。利润函数是一个二次函数，有一个最大值点，这就是企业追求的最大利润点。此外，二次函数在工程领域也有应用，如桥梁设计和抛物线天线等。
总结一下，二次函数的一般形式是y等于ax平方加bx加c，其中a不等于0。二次函数的图像是抛物线，当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下。抛物线的顶点坐标可以通过公式计算得出，对称轴是一条垂直于x轴的直线。二次函数可以转换为标准形式y等于a乘以x减h的平方加k，其中点(h,k)是抛物线的顶点。二次函数在数学、物理、经济和工程等多个领域都有广泛的应用，特别是在解决最值问题方面非常有用。