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偏导数是多元函数关于其中一个自变量的导数，将其他自变量视为常数。对于二元函数f(x,y)，关于x的偏导数表示为∂f/∂x，它描述了当y保持不变时，函数f沿x方向的变化率。同样，关于y的偏导数表示为∂f/∂y，它描述了当x保持不变时，函数f沿y方向的变化率。在几何上，偏导数可以理解为三维曲面上沿特定方向的切线斜率。
让我们通过一个例子来计算偏导数。考虑函数f(x,y) = x²+xy+y²。计算关于x的偏导数时，我们将y视为常数，对x求导。根据求导法则，x²的导数是2x，xy的导数是y（因为y被视为常数），y²的导数是0（因为它不含x）。所以，∂f/∂x = 2x+y。同理，计算关于y的偏导数时，我们将x视为常数，得到∂f/∂y = x+2y。在几何上，偏导数表示函数在特定点沿着坐标轴方向的切线斜率。
偏导数的几何意义可以通过三维空间中的曲面来理解。对于二元函数z=f(x,y)，在点(x₀,y₀)处的偏导数∂f/∂x表示曲面上过该点且平行于xz平面的切线斜率。这条切线是曲面与包含该点且平行于xz平面的截面曲线的切线。同样，偏导数∂f/∂y表示曲面上过该点且平行于yz平面的切线斜率。这两个偏导数描述了函数在该点沿x轴和y轴方向的变化率，它们共同决定了曲面在该点的切平面。
高阶偏导数是对偏导数再次求偏导得到的。例如，二阶偏导数∂²f/∂x²是对一阶偏导数∂f/∂x再次对x求偏导；∂²f/∂y²是对∂f/∂y再次对y求偏导。这些二阶偏导数描述了函数在相应方向上的曲率。混合偏导数则是对不同变量依次求偏导，如∂²f/∂x∂y表示先对y求偏导，再对结果对x求偏导；而∂²f/∂y∂x则相反。若函数的二阶混合偏导数连续，则它们的值相等，即∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x，这称为偏导数的对称性。
总结一下，偏导数是多元函数关于其中一个自变量的导数，计算时将其他自变量视为常数。它的几何意义是曲面上沿特定方向的切线斜率，描述了函数在该方向上的变化率。计算偏导数时，我们遵循普通导数的规则，只是将其他变量视为常数。高阶偏导数是对偏导数再次求导得到的，包括同一变量的高阶偏导数和不同变量的混合偏导数。偏导数在物理学、经济学、工程学等众多领域都有广泛的应用，是多元微积分中的重要概念。