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圆锥曲线是平面与圆锥相交所形成的曲线，主要包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。圆锥曲线可以通过平面与圆锥的不同交角得到不同的曲线形状。当平面垂直于圆锥轴时，得到的是圆；当平面与轴成一定角度但不平行于母线时，得到的是椭圆；当平面平行于一条母线时，得到的是抛物线；当平面平行于轴时，得到的是双曲线。
圆是平面上到定点距离相等的所有点的集合。这个定点称为圆心，到圆心的固定距离称为半径。圆的标准方程是(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)是圆心坐标，r是半径。圆有几个重要性质：首先，圆上任意点到圆心的距离都等于半径；其次，圆具有关于圆心的对称性；最后，圆的切线垂直于该点的半径。这些基本性质是研究圆锥曲线的基础。
椭圆是平面上到两个定点距离之和为常数的所有点的集合。这两个定点称为焦点。椭圆的标准方程是x²/a² + y²/b² = 1，其中a是半长轴，b是半短轴。椭圆有几个重要性质：长轴长度为2a，短轴长度为2b；焦距c满足c²=a²-b²；椭圆的离心率e=c/a，其值在0到1之间；当离心率为0时，椭圆变为圆。从几何意义上看，椭圆上任意一点P到两个焦点F₁和F₂的距离之和等于2a，即长轴长度。
抛物线是平面上到一个定点和一条定直线距离相等的所有点的集合。这个定点称为焦点，定直线称为准线。抛物线的标准方程是y²=4px，其中p是参数，表示焦点到顶点的距离。抛物线有几个重要性质：顶点是抛物线上最接近准线的点；焦点到顶点的距离为p；准线方程为x=-p；抛物线的离心率等于1。从几何意义上看，抛物线上任意一点P到焦点F的距离等于它到准线的距离。抛物线在光学、工程学等领域有广泛应用，例如抛物面反射器可以将平行光线聚焦到焦点。
双曲线是平面上到两个定点距离之差的绝对值为常数的所有点的集合。这两个定点称为焦点。双曲线的标准方程是x²/a² - y²/b² = 1，其中a是半实轴长，b是半虚轴长。双曲线有几个重要性质：实轴长度为2a，虚轴长度为2b；焦距c满足c²=a²+b²；双曲线的离心率e=c/a，其值大于1；双曲线有两条渐近线，方程为y=±(b/a)x。从几何意义上看，双曲线上任意一点P到两个焦点F₁和F₂的距离之差的绝对值等于2a，即实轴长度。双曲线在天文学、导航系统等领域有重要应用。