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概率与统计是数学的重要分支，主要研究随机现象的规律性、数据的收集与分析方法，以及不确定性的量化表示。在现代社会中，概率与统计广泛应用于科学研究、工程技术、经济金融、医学等领域。图中展示的是正态分布曲线，这是统计学中最重要的概率分布之一。在标准正态分布中，约68%的数据落在平均值左右一个标准差的范围内。
概率论的基础建立在几个关键概念上。首先是样本空间，它包含了随机试验所有可能的结果。例如，掷一个骰子的样本空间是{1,2,3,4,5,6}。事件是样本空间的子集，比如'掷出偶数'是一个事件，包含结果{2,4,6}。概率是对事件发生可能性的度量，取值在0到1之间。在这个例子中，掷出偶数的概率是三分之六，即二分之一。条件概率表示在已知一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
概率论中有许多重要的概率分布。离散型分布主要包括二项分布和泊松分布。二项分布描述n次独立重复试验中成功次数的概率，如抛硬币正面朝上的次数。泊松分布则适用于描述单位时间内随机事件发生次数的概率，如每小时到达商店的顾客数。连续型分布中最重要的是正态分布，也称为高斯分布，它在自然和社会科学中广泛存在。图中展示了不同参数的正态分布曲线：蓝色是标准正态分布N(0,1)，红色曲线的标准差更小，因此更窄更高，而绿色曲线的均值向右偏移。指数分布则常用于描述事件之间的等待时间。
统计推断是统计学的核心内容，它使我们能够从样本数据推断总体特征。统计推断主要包括参数估计和假设检验两大部分。参数估计分为点估计和区间估计。点估计是用样本统计量（如样本均值、样本方差）来估计总体参数的具体值。区间估计则提供一个区间，使总体参数有一定概率落在这个区间内，这就是置信区间。图中展示的是标准正态分布的95%置信区间，即μ±1.96σ，表示总体均值有95%的概率落在这个范围内。假设检验是检验关于总体的某种假设是否成立的方法，通常设定零假设H₀和备择假设H₁，然后基于样本数据计算p值，与预先设定的显著性水平α比较，决定是否拒绝零假设。
概率与统计在现代社会中有着广泛的应用。在科学研究中，它们用于分析实验数据和验证科学假设。在金融经济领域，概率模型帮助评估风险、指导投资决策和预测市场走势。医学健康方面，统计方法在临床试验设计和流行病学研究中不可或缺。工程技术领域利用统计学进行质量控制和可靠性分析。而在人工智能时代，概率与统计是机器学习和数据挖掘的理论基础。概率与统计的核心在于量化随机性与不确定性，实现从样本到总体的科学推断，并提供数据驱动的决策方法。通过学习概率与统计，我们能够在不确定的世界中做出更明智的决策。