视频字幕
C++函数递归是一种函数直接或间接调用自身的编程技术。它通常用于解决可以分解为相似的更小规模子问题的问题。以阶乘函数为例，factorial(3)会调用factorial(2)，然后factorial(2)会调用factorial(1)。当达到终止条件时，函数开始返回值，并层层向上计算最终结果。
递归函数有几个关键要素。首先是终止条件，它决定了递归何时停止。其次是递归调用，函数调用自身但处理更小的问题。第三是问题分解，将复杂问题分解为相似的子问题。最后是结果回溯，从终止条件开始，层层返回计算结果。每次递归调用都会在内存的调用栈上创建一个新的栈帧，保存当前函数的局部变量和返回地址。当递归层层深入时，这些栈帧会不断堆叠；当递归开始返回时，栈帧会按照后进先出的顺序被移除。
递归执行过程分为两个阶段：递推阶段和回归阶段。在递推阶段，函数不断调用自身，直到达到终止条件。以斐波那契数列为例，计算fibonacci(4)会分解为计算fibonacci(3)和fibonacci(2)，然后fibonacci(3)又会分解为fibonacci(2)和fibonacci(1)，以此类推。在回归阶段，从终止条件开始，逐层返回并计算结果。需要注意的是，每次递归调用都会消耗栈空间，过深的递归可能导致栈溢出错误。
递归虽然优雅，但可能导致性能问题，因此有几种常见的优化技术。首先是尾递归优化，将递归调用作为函数的最后一个操作，这样编译器可以将递归优化为循环，避免栈溢出。其次是记忆化技术，通过缓存已计算过的结果来避免重复计算，特别适用于斐波那契数列这类有大量重复子问题的递归。最后是递归转迭代，手动使用循环或栈来模拟递归过程，通常能提高性能并减少栈空间使用。
总结一下，递归是一种函数调用自身的编程技术，用于解决可分解为相似子问题的问题。递归函数必须具备四个关键要素：终止条件、递归调用、问题分解和结果回溯。每次递归调用都会在栈上创建新的栈帧，消耗内存空间，因此需要注意优化。常见的优化技术包括尾递归优化、记忆化和递归转迭代。递归在实际编程中有广泛的应用场景，包括树和图的遍历、分治算法如归并排序和快速排序、动态规划问题如最长公共子序列，以及回溯算法如八皇后问题和数独求解。掌握递归思想对于解决复杂问题非常重要。