讲解这道题目，首先说明涉及的知识点，然后说明如何用这些知识解答这道题目---**Extraction Content:** **Problem:** 习题 1 (★). 已知实数 x 满足 x² ∈ {3, 9, x}, 则 x 的所有可能值的个数为 ______. **English Translation of Problem:** Exercise 1 (★). Given that the real number x satisfies x² ∈ {3, 9, x}, then the number of all possible values of x is ______.

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这道题目要求我们找出满足条件的实数x的所有可能值。条件是x的平方属于集合{3, 9, x}，意味着x的平方必须是集合中的一个元素。解决这个问题涉及集合的概念，元素与集合的关系，解一元二次方程，以及解含未知数的方程。我们需要分析x平方等于3、等于9或等于x本身这三种情况。 让我们分析三种可能的情况。情况一：x的平方等于3。解这个方程，我们得到x等于根号3或者负根号3。情况二：x的平方等于9。解这个方程，我们得到x等于3或者负3。情况三：x的平方等于x本身。我们可以将方程变形为x平方减x等于0，然后因式分解得到x乘以x减1等于0。所以x等于0或者等于1。从图形上看，我们可以将这个问题理解为求y等于x平方的抛物线与三条直线y等于3、y等于9和y等于x的交点的横坐标。 现在我们来验证每个解是否满足原条件。我们得到的可能解为根号3、负根号3、3、负3、0和1。当x等于根号3时，x的平方等于3，属于集合{3, 9, 根号3}，满足条件。当x等于负根号3时，x的平方等于3，属于集合{3, 9, 负根号3}，满足条件。当x等于3时，x的平方等于9，属于集合{3, 9, 3}，满足条件。当x等于负3时，x的平方等于9，属于集合{3, 9, 负3}，满足条件。当x等于0时，x的平方等于0，属于集合{3, 9, 0}，满足条件。当x等于1时，x的平方等于1，属于集合{3, 9, 1}，满足条件。在图形上，这些点分别对应抛物线与三条直线的交点。 让我们总结一下。我们通过分析x的平方属于集合{3, 9, x}的三种情况：情况一，x的平方等于3，得到x等于根号3或负根号3；情况二，x的平方等于9，得到x等于3或负3；情况三，x的平方等于x本身，得到x等于0或1。所以x的所有可能值为根号3、负根号3、3、负3、0和1。这些解互不相同，共有6个不同的值。因此，答案是6。 让我们总结一下解决这类问题的方法。首先，在处理集合问题时，理解元素与集合的关系是关键。其次，我们需要将条件分解为多种情况，逐一分析。在解方程时，一定要检查每个解是否满足原条件。图形方法可以帮助我们直观理解问题，比如将x平方属于集合{3, 9, x}转化为求抛物线与直线的交点。通过这些方法，我们得出最终答案：x的所有可能值共有6个。这种分析方法不仅适用于本题，也适用于其他类似的数学问题。