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这道题目要求我们讨论关于x的方程(m-1)x + 3 = 2x + 5在m取不同值时的解的情况。我们需要回答三个问题：当方程有唯一解时，m的取值范围是什么？当方程无解时，m的值是多少？当方程的解是x=1时，m的值是多少？让我们开始解答这个问题。
首先，我们需要将原方程整理成关于x的一次方程的标准形式。将原方程(m-1)x + 3 = 2x + 5中含有x的项移到方程左边，常数项移到右边，得到(m-1)x - 2x = 5 - 3。合并同类项，得到(m-1-2)x = 2，即(m-3)x = 2。这就是我们要分析的标准形式。
现在我们分析方程(m-3)x = 2的解的情况。对于一次方程Ax = B，解的情况取决于系数A和常数项B的值。在这里，A = m-3，B = 2。情况一：当m-3不等于0，即m不等于3时，方程有唯一解x = 2/(m-3)。情况二：当m-3等于0，即m等于3时，方程变为0·x = 2，即0 = 2，这是矛盾的，所以方程无解。情况三：当m-3等于0且2等于0时，方程有无数解，但2不可能等于0，所以不存在这种情况。
现在我们来解决第三个问题：当方程的解是x=1时，m的值是多少？将x=1代入方程(m-3)x = 2中，得到(m-3)·1 = 2，即m-3 = 2，解得m = 5。让我们验证一下：当m = 5时，m-3 = 5-3 = 2不等于0，所以方程有唯一解，符合m不等于3的条件。此时方程变为2x = 2，解得x = 1，确实满足条件。因此，当方程的解是x=1时，m的值是5。
让我们总结一下这道变量讨论题的解答。对于方程(m-1)x + 3 = 2x + 5，我们将其整理为标准形式(m-3)x = 2，然后分析了不同情况。问题一：当方程有唯一解时，m的取值范围是m不等于3。问题二：当方程无解时，m的值是3。问题三：当方程的解是x=1时，m的值是5。解决这类问题的关键是将方程整理为标准形式，然后根据一次方程的性质分析不同情况下的解，最后代入特定条件求解参数的值。