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微积分基本定理是连接微分学和积分学的核心定理，它揭示了求导和积分是互逆运算。第一部分定理告诉我们，如果函数f在闭区间上连续，定义函数F(x)为从a到x的f(t)的积分，那么F的导数等于f(x)。这意味着对变上限积分求导，结果就是被积函数本身。从几何角度看，F(x)表示曲线下的面积，而F'(x)表示这个面积随x变化的速率，即曲线的高度f(x)。
让我们通过一个具体例子来理解微积分基本定理的第一部分。考虑函数f(t)等于t的平方。我们定义变上限积分函数F(x)为从1到x的t的平方的积分。根据微积分基本定理的第一部分，F的导数等于x的平方。我们可以通过计算来验证这一点。首先计算积分F(x)等于x的三次方除以3减去1除以3。然后对这个结果求导，得到F'(x)等于x的平方，这与原函数f(x)完全一致。图中绿色曲线表示积分函数F(x)，在任意点x处的切线斜率恰好等于蓝色曲线f(x)在该点的函数值。
微积分基本定理的第二部分告诉我们，如果F是f的一个原函数，那么f在区间a到b上的定积分等于原函数在区间端点的差值，即F(b)减去F(a)。这为计算定积分提供了一种简便方法：只需找到被积函数的一个原函数，然后计算原函数在积分上限和下限处的差值即可。从几何角度看，这意味着曲线下的面积等于原函数在端点处的高度差。在图中，蓝色区域表示函数f(x)从a到b的定积分，而绿色曲线F(x)是f(x)的原函数。F(b)减去F(a)的差值恰好等于蓝色区域的面积。
让我们通过一个具体例子来理解微积分基本定理的第二部分。我们要计算从1到3的x的平方的定积分。首先，我们需要找到被积函数x的平方的一个原函数。由于x的平方的导数是x的三次方除以3，所以F(x)等于x的三次方除以3。接下来，我们计算原函数在积分上下限处的值。F(3)等于27除以3，即9；F(1)等于1除以3。最后，根据微积分基本定理的第二部分，定积分等于F(3)减去F(1)，即9减去1/3，得到26/3。在图中，蓝色区域表示定积分的值，而绿色曲线上两点之间的高度差正好等于26/3，验证了微积分基本定理的结论。
让我们总结一下微积分基本定理的核心内容。微积分基本定理连接了微分学和积分学，揭示了它们是互逆运算。第一部分告诉我们，变上限积分的导数等于被积函数，这从几何角度看，意味着曲线下面积的变化率等于曲线高度。第二部分告诉我们，定积分等于原函数在积分区间端点的差值，这为计算定积分提供了简便方法：只需找到原函数并计算差值。这一定理是现代科学和工程中最重要的数学工具之一，它使得我们能够解决各种涉及变化率和累积效应的问题，从物理学中的运动方程到经济学中的成本函数，都离不开微积分基本定理的应用。