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直线与双曲线相交问题是解析几何中的一个重要问题。解决这类问题的基本步骤是：首先，联立直线方程与双曲线方程；其次，通过代入消元法将问题转化为一元二次方程；最后，求解这个一元二次方程，得到交点的坐标。在图中，我们可以看到一条直线y等于0.5x加0.5与双曲线x平方除以4减y平方等于1相交于两点，通过计算可得这两个交点的坐标分别为负2.5逗号负0.75和3.5逗号2.25。
现在我们来详细解释如何用代入消元法求解直线与双曲线的交点。首先，我们有直线方程y等于0.5x加0.5，以及双曲线方程x平方除以4减y平方等于1。将直线方程代入双曲线方程，得到x平方除以4减(0.5x加0.5)的平方等于1。展开并整理这个方程，我们得到0.25x平方减0.25x平方减0.5x减0.25等于1，进一步简化为负0.5x减1.25等于0。解这个一元一次方程，得到x等于负2.5或x等于3.5。将这两个x值代回直线方程，可以计算出对应的y值，从而得到两个交点的坐标。
直线与双曲线相交问题的几何意义可以通过交点个数来理解。根据直线与双曲线的位置关系，可能出现三种情况：无交点、一个交点或两个交点。从代数角度看，这取决于我们求解得到的一元二次方程的判别式Δ。当Δ小于0时，方程无实数解，直线与双曲线没有交点，如图中的红色水平线；当Δ等于0时，方程有一个重根，直线与双曲线相切，如图中的绿色水平线，切点坐标为(2,1)；当Δ大于0时，方程有两个不同的实数解，直线与双曲线相交于两点，如图中的黄色斜线。判别式Δ的正负决定了直线与双曲线的位置关系，这是解析几何中的一个重要概念。
让我们总结直线与双曲线相交问题的完整解法。首先，写出直线方程和双曲线方程；其次，将直线方程代入双曲线方程；然后，整理得到一元二次方程；接着，计算判别式来判断交点个数；最后，求解方程得到x值，再代回直线方程求y值，从而得到交点坐标。在这个例子中，我们有双曲线y平方除以1减x平方除以4等于1，以及直线y等于负x加1。将直线方程代入双曲线方程，经过一系列代数运算，我们得到方程3x平方减8x等于0，即x乘以(3x减8)等于0。解得x等于0或x等于8/3，对应的y值分别为1和负5/3。因此，交点坐标为(0,1)和(8/3,负5/3)。这种方法适用于所有直线与双曲线相交问题。
总结一下，直线与双曲线相交问题是解析几何中的经典问题，其解题方法具有普遍性。解题的关键步骤是将直线方程代入双曲线方程，转化为一元二次方程，然后通过判别式来确定交点个数。当判别式小于零时，直线与双曲线没有交点；当判别式等于零时，直线与双曲线相切，有一个交点；当判别式大于零时，直线与双曲线相交于两点。求解方程得到x值后，再代回直线方程求y值，即可得到交点坐标。这种方法不仅适用于直线与双曲线的相交问题，也适用于直线与其他二次曲线如椭圆、抛物线的相交问题。掌握这种方法对于解决各类曲线相交问题都有重要意义。