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欢迎学习二次函数。二次函数是形如y等于ax平方加bx加c的函数,其中a不等于零。二次函数有三种基本形式:一般式、顶点式和交点式。一般式就是y等于ax平方加bx加c;顶点式是y等于a乘以x减h的平方加k,其中h和k是抛物线顶点的坐标;交点式是y等于a乘以x减x一乘以x减x二,其中x一和x二是抛物线与x轴的交点。图中展示了最简单的二次函数y等于x平方,它的顶点在原点,对称轴是y轴。
二次函数的图像是一条抛物线,其形状和位置由系数a、b、c决定。系数a决定抛物线的开口方向和宽窄:当a大于零时,抛物线开口向上,有最低点;当a小于零时,抛物线开口向下,有最高点;而且a的绝对值越大,抛物线的开口越窄。系数c是抛物线与y轴的交点的纵坐标。系数b与a共同决定对称轴的位置,对称轴的方程是x等于负b除以二a。记住口诀:左同右异。当a和b同号时,对称轴在y轴左侧;当a和b异号时,对称轴在y轴右侧;当b等于零时,对称轴就是y轴。
二次函数的顶点和对称轴是理解其图像的关键。对于一般式y等于ax平方加bx加c,顶点坐标是负b除以二a和四ac减b平方除以四a。对于顶点式y等于a乘以x减h的平方加k,顶点坐标就是h和k。对称轴是一条垂直于x轴的直线,方程为x等于负b除以二a或x等于h,抛物线关于对称轴对称。二次函数与坐标轴的交点也很重要:与y轴的交点是零和c;与x轴的交点则需要解方程ax平方加bx加c等于零。根据判别式Δ等于b平方减四ac的值,可能有两个不同的交点、一个交点(顶点在x轴上)或者没有交点。图中展示的是函数y等于x减一的平方加二,它的顶点是一和二,对称轴是x等于一,与y轴的交点是零和三,与x轴有两个交点。
二次函数有重要的性质。首先是单调性:当a大于零时,函数在对称轴左侧递减,右侧递增;当a小于零时,则相反。其次是最值:当a大于零时,函数有最小值,在顶点处取得;当a小于零时,函数有最大值,同样在顶点处取得。二次函数的定义域是所有实数,而值域则取决于a的符号:当a大于零时,值域是从最小值到正无穷;当a小于零时,值域是从负无穷到最大值。在高一阶段,二次函数的应用更加深入,包括求解区间上的最值问题、确定二次函数的解析式、应用二次函数模型解决实际问题,以及处理含参数的二次函数问题。图中展示了函数y等于x减一的平方加一,它在对称轴x等于一的左侧递减,右侧递增,最小值是一,值域是从一到正无穷。黄色线段表示在区间负二到三上求最值的问题,这是高一的重要内容。
二次函数与一元二次方程、不等式有密切关系。二次函数y等于ax平方加bx加c与x轴的交点,就是方程ax平方加bx加c等于零的实数根。判别式Δ等于b平方减四ac决定了交点的个数:当Δ大于零时有两个不同交点,当Δ等于零时有一个交点(重根),当Δ小于零时没有交点。二次函数也是解一元二次不等式的有力工具。不等式ax平方加bx加c大于零(或小于零)对应函数图像在x轴上方(或下方)的部分。解不等式的步骤是:确定抛物线开口方向,求出与x轴的交点,然后根据图像确定解集。图中展示的是函数y等于x平方减二x减三,它与x轴有两个交点:x等于负一和x等于三。对应的方程是x平方减二x减三等于零。绿色区域表示函数值大于零,对应不等式x平方减二x减三大于零的解集是x小于负一或x大于三;红色区域表示函数值小于零,对应不等式x平方减二x减三小于零的解集是负一小于x小于三。