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欢迎学习二次函数。二次函数是形如y等于ax平方加bx加c的函数，其中a不等于零。二次函数有三种基本形式：一般式、顶点式和交点式。一般式就是y等于ax平方加bx加c；顶点式是y等于a乘以x减h的平方加k，其中h和k是抛物线顶点的坐标；交点式是y等于a乘以x减x一乘以x减x二，其中x一和x二是抛物线与x轴的交点。图中展示了最简单的二次函数y等于x平方，它的顶点在原点，对称轴是y轴。
二次函数的图像是一条抛物线，其形状和位置由系数a、b、c决定。系数a决定抛物线的开口方向和宽窄：当a大于零时，抛物线开口向上，有最低点；当a小于零时，抛物线开口向下，有最高点；而且a的绝对值越大，抛物线的开口越窄。系数c是抛物线与y轴的交点的纵坐标。系数b与a共同决定对称轴的位置，对称轴的方程是x等于负b除以二a。记住口诀：左同右异。当a和b同号时，对称轴在y轴左侧；当a和b异号时，对称轴在y轴右侧；当b等于零时，对称轴就是y轴。
二次函数的顶点和对称轴是理解其图像的关键。对于一般式y等于ax平方加bx加c，顶点坐标是负b除以二a和四ac减b平方除以四a。对于顶点式y等于a乘以x减h的平方加k，顶点坐标就是h和k。对称轴是一条垂直于x轴的直线，方程为x等于负b除以二a或x等于h，抛物线关于对称轴对称。二次函数与坐标轴的交点也很重要：与y轴的交点是零和c；与x轴的交点则需要解方程ax平方加bx加c等于零。根据判别式Δ等于b平方减四ac的值，可能有两个不同的交点、一个交点（顶点在x轴上）或者没有交点。图中展示的是函数y等于x减一的平方加二，它的顶点是一和二，对称轴是x等于一，与y轴的交点是零和三，与x轴有两个交点。
二次函数有重要的性质。首先是单调性：当a大于零时，函数在对称轴左侧递减，右侧递增；当a小于零时，则相反。其次是最值：当a大于零时，函数有最小值，在顶点处取得；当a小于零时，函数有最大值，同样在顶点处取得。二次函数的定义域是所有实数，而值域则取决于a的符号：当a大于零时，值域是从最小值到正无穷；当a小于零时，值域是从负无穷到最大值。在高一阶段，二次函数的应用更加深入，包括求解区间上的最值问题、确定二次函数的解析式、应用二次函数模型解决实际问题，以及处理含参数的二次函数问题。图中展示了函数y等于x减一的平方加一，它在对称轴x等于一的左侧递减，右侧递增，最小值是一，值域是从一到正无穷。黄色线段表示在区间负二到三上求最值的问题，这是高一的重要内容。
二次函数与一元二次方程、不等式有密切关系。二次函数y等于ax平方加bx加c与x轴的交点，就是方程ax平方加bx加c等于零的实数根。判别式Δ等于b平方减四ac决定了交点的个数：当Δ大于零时有两个不同交点，当Δ等于零时有一个交点（重根），当Δ小于零时没有交点。二次函数也是解一元二次不等式的有力工具。不等式ax平方加bx加c大于零（或小于零）对应函数图像在x轴上方（或下方）的部分。解不等式的步骤是：确定抛物线开口方向，求出与x轴的交点，然后根据图像确定解集。图中展示的是函数y等于x平方减二x减三，它与x轴有两个交点：x等于负一和x等于三。对应的方程是x平方减二x减三等于零。绿色区域表示函数值大于零，对应不等式x平方减二x减三大于零的解集是x小于负一或x大于三；红色区域表示函数值小于零，对应不等式x平方减二x减三小于零的解集是负一小于x小于三。